§ 8. Геометрический смысл производной

Определения и обозначения

Касательная к графику функции в точке — прямая, направление которой совпадает с направлением графика в этой точке. Её можно представить как предельное положение секущей — прямой, проходящей через две точки графика, когда одна из них приближается к другой. Это понятие позволяет описывать наклон графика непосредственно возле выбранной точки.

Угловой коэффициент прямой — число, равное тангенсу угла её наклона к положительному направлению оси абсцисс. Чем больше это число, тем круче прямая поднимается слева направо; отрицательное значение означает наклон вниз. Угловой коэффициент нужен, чтобы измерять наклон числом и сравнивать наклоны разных прямых.

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке. Обозначение f′(x₀) относится к производной при x = x₀. Благодаря этому числу можно судить о направлении касательной и записывать её уравнение.

Касательная к графику y = f(x) в точке с абсциссой x₀ задаётся формулой y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Значение f(x₀) задаёт ординату точки касания, а f′(x₀) — наклон прямой. Поэтому формула одновременно учитывает и положение касательной, и её направление.

Как это устроено

Возьмём две точки графика: (x₀; f(x₀)) и (x₀ + Δx; f(x₀ + Δx)). Прямая через них называется секущей, а её угловой коэффициент равен отношению изменения ординаты к изменению абсциссы: (f(x₀ + Δx) − f(x₀))/Δx. Это отношение показывает среднее изменение функции между двумя точками, а не наклон графика только в одной из них. Поэтому для изучения направления графика в x₀ нужно сближать точки.

Когда Δx стремится к нулю, вторая точка графика приближается к первой. Секущая при этом поворачивается и, если предел существует, приближается к касательной в точке x₀. Одновременно отношение приращений стремится к f′(x₀), поскольку именно так определяется производная. Значит, предельный угловой коэффициент секущей становится угловым коэффициентом касательной.

Угол наклона прямой связан с её угловым коэффициентом равенством k = tg α, где α отсчитывают от положительного направления оси абсцисс. Для касательной k = f′(x₀), поэтому знак производной сообщает, в какую сторону она наклонена. Если производная положительна, коэффициент положительный и прямая поднимается слева направо; если отрицательна — опускается. При нулевом коэффициенте прямая горизонтальна.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (x₀; y₀), имеет вид y − y₀ = k(x − x₀). Для касательной подставляют y₀ = f(x₀) и k = f′(x₀), получая y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Значение функции удерживает прямую в точке графика, а производная задаёт её наклон. Если забыть первое, получится прямая с нужным наклоном, но не обязательно касательная.

Касательная также помогает приближённо оценивать функцию около точки касания. Если аргумент изменился на небольшую величину Δx, то приращение функции приблизительно равно f′(x₀)Δx. Это следует из того, что рядом с точкой график мало отличается от касательной. Чем ближе рассматриваемое значение x к x₀, тем точнее обычно такое линейное приближение.

На графике y = x² при x₀ = 1 производная равна 2, поэтому касательная имеет такой же угловой коэффициент. Она проходит через точку (1; 1), а её уравнение получается из формулы касательной. На графике видно, что прямая касается параболы в этой точке и передаёт её направление именно рядом с ней.

Геометрические свойства производной в точке

Сначала найдите знак производной или её точное значение в выбранной точке, а затем прочитайте соответствующий наклон. В строке f′(x₀) = k дан общий случай: коэффициент касательной известен численно. Таблица описывает касательную в одной точке, поэтому по ней нельзя сразу делать вывод о наклоне всего графика.

Разбор задач

Касательная к параболе

Условие. Для f(x) = x² найдите угловой коэффициент касательной при x₀ = 1 и запишите её уравнение. Сначала нужно определить наклон по производной, затем найти точку графика, через которую проходит прямая. Только после этого можно записать уравнение касательной.

1. Находим производную: f′(x) = 2x, поэтому f′(1) = 2. Это и есть угловой коэффициент касательной.
2. Вычисляем значение функции: f(1) = 1, значит, точка касания — (1; 1). Подставляем данные в формулу y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
3. Получаем y = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1. Проверка: при x = 1 уравнение даёт y = 1, значит, касательная проходит через точку графика.

Ответ: угловой коэффициент равен 2, уравнение касательной — y = 2x − 1. Положительный коэффициент согласуется с тем, что прямая поднимается слева направо. Подстановка координат точки касания проверяет правильность её положения.

Касательная параллельна заданной прямой

Условие. Найдите абсциссу точки графика f(x) = x², в которой касательная параллельна прямой y = 6x + 2. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, а коэффициент заданной прямой равен 6. Поэтому нужно найти точку, где производная функции принимает это значение.

1. Вычисляем производную: f′(x) = 2x. Приравниваем её к коэффициенту прямой: 2x = 6.
2. Решаем уравнение и получаем x = 3. Это абсцисса точки, поскольку в ней касательная имеет нужный наклон.
3. Если требуется проверить результат, вычисляем f′(3) = 6. Значит, найденная касательная действительно параллельна прямой y = 6x + 2.

Ответ: x = 3. В задаче спрашивалась только абсцисса, поэтому уравнение касательной составлять необязательно. Если бы потребовалось и оно, следовало бы дополнительно найти координаты точки графика.

Несколько касательных с заданным наклоном

Условие. Для f(x) = x³ − 3x найдите точки, в которых касательная параллельна прямой y = 9x − 4, и составьте уравнения касательных. Коэффициент заданной прямой равен 9, поэтому производная должна принимать значение 9. Полученное уравнение может иметь несколько решений, и каждое нужно проверить отдельно.

1. Находим производную: f′(x) = 3x² − 3. Приравниваем её к 9 и решаем 3x² − 3 = 9, откуда x² = 4 и x = 2 или x = −2.
2. При x = 2 значение функции равно 2, поэтому точка касания — (2; 2). Подставляем в формулу: y = 2 + 9(x − 2) = 9x − 16.
3. При x = −2 значение функции равно −2, поэтому точка касания — (−2; −2). Уравнение второй касательной: y = −2 + 9(x + 2) = 9x + 16.

Ответ: точки касания (2; 2) и (−2; −2); касательные y = 9x − 16 и y = 9x + 16. У обеих прямых коэффициент 9, следовательно, обе параллельны заданной прямой. Проверка обеих точек важна: ограничиваться одним корнем уравнения для производной нельзя.

Типичные ошибки

Производную иногда принимают за значение функции в точке. Это разные величины: f(x₀) — ордината точки графика, а f′(x₀) — наклон касательной. Путаница возникает из-за одинаковой привязки к x₀; проверьте себя, подставив обе величины в формулу касательной на их разные места.

Другая ошибка — записать формулу касательной, используя только f′(x₀), и забыть точку (x₀; f(x₀)). Так можно получить прямую с правильным наклоном, которая проходит мимо графика. Подставьте x₀ в уравнение: при правильном ответе должно получиться y = f(x₀).

Производную также путают с углом наклона касательной. Но производная равна тангенсу этого угла, а не самому углу: f′(x₀) = tg α. Ошибка появляется, когда числу-коэффициенту приписывают смысл угла; проверка проста — в формуле для угла нужно использовать обратную функцию к тангенсу.

Знак производной в одной точке не позволяет делать вывод о поведении функции на всём промежутке. Он характеризует наклон касательной только при выбранном x₀, а в других точках наклон может измениться. Чтобы судить о возрастании или убывании на промежутке, исследуют знак производной на всём этом промежутке, а не только в одном месте.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужно знать определение производной как предела отношения приращений и уметь находить производные простых функций. Также пригодятся уравнение прямой и понятие углового коэффициента: они позволяют перейти от наклона к формуле касательной. Далее геометрический смысл производной используют при исследовании возрастания и убывания, поиске экстремумов и построении графиков. Так производная связывает вычисления с тем, как выглядит график функции.

Что запомнить

• Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной в этой точке.
• Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла её наклона к положительному направлению оси абсцисс.
• Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
• Касательная проходит через точку (x₀; f(x₀)).
• Положительная производная означает положительный наклон касательной, отрицательная — отрицательный.
• Если производная в точке равна нулю, касательная горизонтальна.
• Вблизи точки касания функция приближённо меняется на f′(x₀)Δx.