§ 48. Геометрический смысл производной

Определения и обозначения

Геометрический смысл производной в точке состоит в том, что f′(x₀) равно угловому коэффициенту касательной к графику y = f(x) в точке с абсциссой x₀. Иначе говоря, производная показывает наклон графика именно около выбранной точки. Это позволяет описывать направление и крутизну графика числом.

Касательная к графику в точке — прямая, которая получается как предельное положение секущих, проходящих через эту точку и соседние точки графика. Секущая соединяет две точки кривой, а при приближении одной точки к другой её направление меняется всё меньше. Понятие касательной помогает заменить участок кривой прямой при изучении графика вблизи точки.

Угловой коэффициент прямой — число k в её уравнении y = kx + b. Он характеризует наклон прямой: например, при k = 0 прямая горизонтальна. Для касательной к графику функции в точке x₀ этот коэффициент равен f′(x₀), поэтому по производной можно определить наклон прямой.

Уравнение касательной к графику функции в точке x₀ имеет вид y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Здесь f(x₀) задаёт ординату точки касания, а f′(x₀) — наклон касательной. Формула нужна, чтобы записать прямую, зная значение функции и её производной в одной точке.

Как это устроено

Пусть на графике выбраны точки с абсциссами x₀ и x₀ + h, где h — приращение аргумента. Прямая через эти точки называется секущей, а её угловой коэффициент равен отношению изменения функции к изменению аргумента: (f(x₀ + h) − f(x₀)) / h. Это отношение показывает средний наклон графика на выбранном промежутке. Когда h становится меньше, вторая точка подходит ближе к первой, и секущая описывает график всё точнее именно около x₀.

Если предел отношения приращений существует при h → 0, он и является производной f′(x₀). Одновременно секущая при таком приближении стремится к касательной. Поэтому угловые коэффициенты секущих стремятся к коэффициенту наклона касательной, и их предел совпадает с производной. Так связь производной с касательной следует из определения, а не является отдельным правилом.

Угол α отсчитывают от положительного направления оси Ox до касательной. Для прямой её угловой коэффициент равен тангенсу этого угла, поэтому для касательной получаем f′(x₀) = tg α. Например, положительный тангенс соответствует подъёму вправо, а отрицательный — спуску. Такая связь позволяет перейти от численного значения производной к геометрическому представлению о наклоне.

Чтобы записать касательную, сначала находят саму точку графика: при x = x₀ её ордината равна f(x₀). Затем вычисляют f′(x₀), которое задаёт наклон прямой. Уравнение прямой с этим наклоном, проходящей через точку (x₀; f(x₀)), и даёт формулу y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). При x = x₀ она действительно проходит через точку касания.

Знак производной задаёт направление касательной: если f′(x₀) > 0, её угловой коэффициент положителен и прямая поднимается слева направо. При f′(x₀) < 0 коэффициент отрицателен, поэтому касательная опускается. Если f′(x₀) = 0, наклона вверх или вниз нет и касательная горизонтальна. При этом знак производной не говорит, выше или ниже оси Ox находится сама точка графика: это зависит от значения f(x₀).

Связь производной в точке с касательной к графику

Таблица помогает выбрать нужную связь в зависимости от задачи: найти наклон, определить направление касательной или записать её уравнение. Для уравнения понадобятся оба значения — f(x₀) и f′(x₀). Если известен наклон прямой, его можно приравнять производной в точке касания.

Разбор задач

1. Угловой коэффициент касательной к y = x² при x₀ = 1

Условие. Найдите угловой коэффициент касательной к графику y = x² в точке с абсциссой x₀ = 1. Поскольку коэффициент касательной равен производной в точке, сначала найдём производную функции. Затем подставим значение x₀.

1. Обозначим f(x) = x² и вычислим производную: f′(x) = 2x.
2. Подставим x₀ = 1: f′(1) = 2 · 1 = 2.
3. По геометрическому смыслу производной полученное число и есть угловой коэффициент касательной.

Ответ: k = 2.

2. Уравнение касательной к y = x² при x₀ = 1

Условие. Запишите уравнение касательной к графику y = x² в точке с абсциссой 1. Одного наклона недостаточно: нужна ещё точка, через которую проходит прямая. Поэтому найдём значение функции и производной в этой точке.

1. Ордината точки касания: f(1) = 1² = 1, значит точка имеет координаты (1; 1).
2. Производная f′(x) = 2x, поэтому f′(1) = 2. Это угловой коэффициент касательной.
3. Подставим данные в формулу: y = f(1) + f′(1)(x − 1) = 1 + 2(x − 1).
4. Раскроем скобки: y = 2x − 1. Проверка: при x = 1 уравнение даёт y = 1, то есть точку касания.

Ответ: y = 2x − 1.

3. Касательные к y = x³ − 3x, параллельные y = 9x + 2

Условие. Найдите точки графика, в которых касательная параллельна прямой y = 9x + 2, и запишите уравнения касательных. У параллельных прямых одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому приравняем производную функции к коэффициенту 9, а затем для каждого решения применим формулу касательной.

1. Пусть f(x) = x³ − 3x. Тогда f′(x) = 3x² − 3.
2. Решим условие параллельности: 3x² − 3 = 9, откуда x² = 4 и x = −2 или x = 2.
3. При x = 2: f(2) = 2, точка (2; 2). Касательная: y = 2 + 9(x − 2) = 9x − 16.
4. При x = −2: f(−2) = −2, точка (−2; −2). Касательная: y = −2 + 9(x + 2) = 9x + 16.

Ответ: точки (−2; −2) и (2; 2); касательные y = 9x + 16 и y = 9x − 16.

Типичные ошибки

Путать производную с ординатой точки — значит принимать наклон касательной за значение функции. Ошибку допускают потому, что обе величины вычисляют при одном x₀. Проверка простая: f(x₀) — координата y точки, а f′(x₀) — коэффициент при x в уравнении касательной.

При составлении касательной иногда подставляют неверное значение функции или производной. Причина — смешение координат точки и наклона прямой. Сверьтесь с формулой: точка равна (x₀; f(x₀)), коэффициент наклона — f′(x₀), а затем проверьте, что уравнение выполняется при x = x₀.

Нулевая производная не означает, что касательной нет. Ошибка возникает, если ноль воспринимают как отсутствие наклона, хотя это и есть определённый наклон — горизонтальный. Проверьте результат по уравнению: при f′(x₀) = 0 касательная имеет вид y = f(x₀).

Знак производной не определяет, выше или ниже оси Ox находится график. Это смешивают, потому что обе характеристики относятся к одной точке, но они описывают разное: знак f′(x₀) задаёт направление наклона, а знак f(x₀) — положение точки по вертикали. Чтобы проверить себя, отдельно вычислите эти два значения.

Связь с другими темами

Для применения геометрического смысла производной нужно уметь находить производные по правилам и знать уравнение прямой y = kx + b. Без этого нельзя вычислить наклон касательной или записать её уравнение. Значения функции и производной при этом отвечают за разные части записи.

Главное непосредственное применение темы — составление уравнения касательной к графику в заданной точке. Для этого находят координаты точки графика и производную в ней. Та же идея помогает находить точки, где касательная параллельна заданной прямой.

Знак производной связан с дальнейшим исследованием поведения функции. Если производная положительна на промежутке, график направлен вверх при движении слева направо; если отрицательна — вниз. Эта связь служит основой для определения промежутков возрастания и убывания функции.

Что запомнить

• f′(x₀) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке x₀.
• Угловой коэффициент касательной равен tg угла её наклона к положительному направлению оси Ox.
• Точка касания имеет координаты (x₀; f(x₀)).
• Касательная задаётся формулой y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
• При f′(x₀) > 0 касательная поднимается слева направо, при f′(x₀) < 0 — опускается.
• При f′(x₀) = 0 касательная горизонтальна.