§ 49. Возрастание и убывание функции

Определения и обозначения

Возрастающая функция на промежутке — это функция, для любых двух точек которого x₁ < x₂ выполняется неравенство f(x₁) < f(x₂). Иными словами, при движении вправо значение функции увеличивается. Определение позволяет строго проверить, поднимается ли функция на всём выбранном промежутке.

Убывающая функция на промежутке — это функция, для любых x₁ < x₂ из этого промежутка выполняется f(x₁) > f(x₂). Значение функции уменьшается, хотя аргумент растёт. Такое определение помогает отличить настоящее убывание от поведения функции в отдельных точках.

Промежуток возрастания или убывания — промежуток области определения, на котором функция соответственно возрастает или убывает. Такие промежутки называют промежутками монотонности. Их находят, чтобы описать поведение функции на всей области определения частями.

Производная функции — величина, характеризующая скорость изменения функции и наклон её графика. Её знак на промежутке позволяет установить, возрастает функция или убывает. Обозначают производную f′(x), где штрих показывает дифференцирование по x.

Как это устроено

Определения возрастания и убывания сравнивают значения функции сразу в двух точках. Если выбрать x₂ правее x₁, то у возрастающей функции значение в правой точке больше, а у убывающей — меньше. Поэтому нельзя делать вывод о монотонности по одному значению функции или по одному отрезку графика.

На графике возрастающей функции при движении слева направо линия поднимается, а убывающей — опускается. Одна и та же функция может сначала убывать, а затем возрастать, поэтому её поведение рассматривают отдельно на каждом промежутке. Такое разделение особенно заметно около точек максимума, минимума и разрыва.

Связь монотонности с производной объясняется геометрическим смыслом производной. Производная в точке задаёт угловой коэффициент касательной к графику: положительный наклон направляет касательную вверх, отрицательный — вниз. Если одинаковое направление наклона сохраняется на промежутке, график в целом движется в том же направлении.

Если f′(x) > 0 во всех внутренних точках промежутка, функция на нём возрастает. Если f′(x) < 0 во всех внутренних точках, функция убывает. Речь идёт именно о знаке производной на всём промежутке, а не о её значении в одной выбранной точке.

Для исследования сначала находят точки, где производная равна нулю или не существует, а также точки, не входящие в область определения функции. Они делят область определения на промежутки, внутри которых знак производной обычно постоянен. После этого выбирают контрольную точку в каждом промежутке и проверяют знак производной.

Признаки возрастания и убывания функции

Пользуйтесь таблицей после того, как нашли область определения и все важные точки. Знак «+» или «−» нужно установить отдельно на каждом промежутке между соседними точками. Если знак меняется, сравните его слева и справа: так можно заметить экстремум.

Разбор задач

1. Поведение функции по графику

Условие: определить по графику функции y = x², на каких промежутках она возрастает и убывает. График — парабола с вершиной в точке x = 0. Нужно разделить его в вершине, потому что слева и справа направление движения различно.

1. При x < 0 движемся слева направо к вершине, и значения y уменьшаются. Значит, функция убывает на (−∞; 0).
2. При x > 0 движемся от вершины вправо, и значения y увеличиваются. Значит, функция возрастает на (0; +∞).

Ответ: функция y = x² убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞), если допускается указание промежутков с общей точкой вершины. В строгой записи промежутки монотонности часто записывают как (−∞; 0) и (0; +∞), отдельно отмечая точку x = 0.

2. Кубическая функция

Условие: найти промежутки монотонности f(x) = x³ − 3x. Сначала определим производную, а затем исследуем её знак между точками, где она обращается в нуль. Область определения функции — вся числовая прямая.

1. Находим производную: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Нули производной: x = −1 и x = 1.
2. Разбиваем прямую на три промежутка. Знак f′ положителен на (−∞; −1) и (1; +∞), а на (−1; 1) отрицателен.
3. По признаку производной функция возрастает там, где f′ > 0, и убывает там, где f′ < 0. Точки −1 и 1 разделяют промежутки и проверяются как возможные экстремумы.

Ответ: f(x) возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), убывает на (−1; 1).

3. Функция с точкой разрыва

Условие: найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = (x² + 1)/(x − 1). Точка x = 1 не входит в область определения и должна быть учтена до исследования производной. Поэтому область сразу распадается на промежутки левее и правее единицы.

1. Вычисляем производную по правилу производной частного: f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)². Нули числителя: x = 1 − √2 и x = 1 + √2; знаменатель обращается в нуль при x = 1.
2. Получаем промежутки (−∞; 1 − √2), (1 − √2; 1), (1; 1 + √2), (1 + √2; +∞). Так как (x − 1)² положителен, знак производной определяется числителем.
3. Числитель положителен вне корней и отрицателен между ними. Поэтому функция возрастает на первом и последнем промежутках, а убывает на двух средних.

Ответ: возрастает на (−∞; 1 − √2) и (1 + √2; +∞); убывает на (1 − √2; 1) и (1; 1 + √2).

Типичные ошибки

Нельзя считать функцию возрастающей только потому, что производная положительна в одной точке. Такой знак должен сохраняться на всём рассматриваемом промежутке. Проверяйте знак производной после разбиения области определения.

Пропуск точки, где производная равна нулю или не существует, может скрыть смену направления графика. Такие точки являются кандидатами на границы промежутков монотонности. Отмечайте их на числовой прямой и проверяйте знаки по обе стороны.

Точку, не входящую в область определения, нельзя включать в промежуток монотонности. Это часто происходит при делении на выражение, которое может стать нулём. Сначала найдите ОДЗ, а уже потом составляйте интервалы.

Положительная производная не означает, что сама функция положительна. Например, f(x) = x имеет положительную производную, но при x < 0 её значения отрицательны. Сверяйте, о чём говорится: о знаке f′(x) или о знаке f(x).

Связь с другими темами

Для исследования монотонности нужны область определения, сравнение значений функции и смысл производной как предела отношения приращений. Эти знания объясняют, какие точки можно исследовать и почему знак производной связан с изменением графика.

Промежутки возрастания и убывания используют при нахождении максимумов и минимумов, а также при построении графиков. Смена знака производной помогает распознать экстремум.

Монотонность помогает решать уравнения и неравенства: на промежутке монотонная функция принимает каждое значение не более одного раза. Поэтому по её поведению можно оценивать число корней и сравнивать значения выражений.

Что запомнить

• Возрастание и убывание определяют сравнением значений функции при x₁ < x₂.
• Монотонность устанавливают отдельно на каждом промежутке.
• Положительная производная на промежутке означает возрастание функции.
• Отрицательная производная на промежутке означает убывание функции.
• Нули и точки, где производная не существует, проверяют как возможные границы промежутков.
• Для исследования сначала учитывают область определения функции.