§ 50. Экстремумы функции

Определения и обозначения

Экстремум функции — значение функции, которое в некоторой окрестности точки является наибольшим или наименьшим. Окрестность — это небольшой промежуток вокруг выбранной точки. Такое определение позволяет изучать поведение графика рядом с точкой, не сравнивая его сразу со всей областью.

Точка максимума — точка, в которой значение функции больше значений функции в достаточно близких точках. Если максимум достигается при x₀, часто говорят, что x₀ — точка максимума, а f(x₀) — значение максимума. На графике это место локального подъёма, после которого начинается спуск.

Точка минимума — точка, в которой значение функции меньше значений функции в достаточно близких точках. При таком поведении график сначала опускается к точке, а затем поднимается. Максимум и минимум здесь локальные: сравнение проводится только с близкими значениями.

Критическая точка — внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. Такие точки становятся кандидатами на экстремум, потому что именно в них может измениться характер монотонности функции. После их нахождения обязательно проверяют знак производной слева и справа.

Как это устроено

На графике локальный максимум выглядит как вершина небольшого «холма», а локальный минимум — как дно «впадины». Обычная точка лежит на участке, где график продолжает двигаться в одном направлении, поэтому её значение не становится самым большим или самым маленьким среди соседних. График может иметь несколько локальных экстремумов, и каждый из них оценивают отдельно.

Если функция дифференцируема и имеет экстремум во внутренней точке x₀, её касательная в этой точке горизонтальна. Поэтому угловой коэффициент касательной, то есть производная, равен нулю: f'(x₀) = 0. Иначе функция продолжала бы возрастать или убывать через точку, а значение не могло бы стать локально крайним.

Однако из равенства f'(x₀) = 0 экстремум не следует. Например, для функции y = x³ производная в нуле равна нулю, но функция возрастает и слева, и справа от x = 0. Значит, нулевая производная лишь помогает найти кандидатов, а окончательный вывод делают по изменению знака.

Знак производной показывает направление изменения функции: f'(x) > 0 соответствует возрастанию, а f'(x) < 0 — убыванию. Переход от плюса к минусу означает, что после возрастания начинается убывание, поэтому получается максимум. Переход от минуса к плюсу означает минимум, потому что за убыванием следует возрастание.

Для исследования сначала находят область определения и все критические точки. Затем отмечают их на числовой прямой, определяют знаки производной на получившихся промежутках и вычисляют значения функции в точках экстремума. Если задача связана с отрезком, отдельно подставляют его концы и сравнивают все полученные значения.

Признаки экстремума функции по производной

Таблицу используют после нахождения критических точек. Для каждой точки сравнивают знак производной на промежутке слева со знаком на промежутке справа. Если знак не меняется, найденная точка не является экстремумом.

Само наличие нулевой или несуществующей производной ещё ничего не доказывает. Решение появляется только после анализа поведения функции по обе стороны точки. В ответе полезно указывать и абсциссу, и соответствующее значение функции.

Разбор задач

Задача 1. Исследовать на экстремумы функцию y = x³ − 3x.

Это многочлен, поэтому его область определения — все действительные числа. Сначала найдём производную и её нули, а затем выясним, как меняется знак производной. После этого вычислим координаты найденных точек.

1. y' = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), поэтому критические точки: x = −1 и x = 1.
2. На промежутках (−∞; −1), (−1; 1), (1; +∞) знак производной соответственно «+», «−», «+».
3. При x = −1 знак меняется с плюса на минус, значит, это максимум: y(−1) = 2. При x = 1 знак меняется с минуса на плюс, значит, это минимум: y(1) = −2.

Ответ: точка максимума (−1; 2), точка минимума (1; −2). Функция возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), а убывает на (−1; 1).

Задача 2. Найти точки экстремума функции y = x⁴ − 4x².

Производная здесь имеет несколько нулей, поэтому особенно важно не потерять ни один множитель. Область определения также состоит из всех действительных чисел. Разобьём числовую прямую найденными точками и проверим знак на каждом промежутке.

1. y' = 4x³ − 8x = 4x(x² − 2) = 4x(x − √2)(x + √2), поэтому x = −√2, 0, √2.
2. Знаки производной на промежутках: «−», «+», «−», «+». Следовательно, при x = −√2 и x = √2 получаются минимумы, а при x = 0 — максимум.
3. y(−√2) = y(√2) = −4, а y(0) = 0.

Ответ: точки минимума (−√2; −4) и (√2; −4), точка максимума (0; 0). Две симметричные точки минимума возникают из-за чётности функции.

Задача 3. Исследовать на экстремумы функцию y = |x − 2| + x².

Модуль меняет формулу в точке x = 2, поэтому там производная может не существовать. Запишем функцию по частям и исследуем каждую часть, не забывая проверить саму точку перелома. Это позволяет увидеть изменение монотонности напрямую.

1. При x < 2: y = 2 − x + x², y' = 2x − 1. При x > 2: y = x − 2 + x², y' = 2x + 1.
2. В левой части производная равна нулю при x = ½; знак меняется с минуса на плюс, поэтому y(½) = ¼ − 2 + 2 = ¼ — минимум.
3. В точке x = 2 производная не существует, но слева y' > 0 и справа y' > 0. Знак не меняется, поэтому экстремума в этой точке нет.

Ответ: единственная точка минимума — (½; ¼), точек максимума нет. На всей области определения функция задана, но в x = 2 она лишь меняет формулу, а не направление роста.

Типичные ошибки

Считать любую точку, где f'(x) = 0, точкой экстремума. Так делают, потому что нулевая производная часто встречается в решениях. Проверьте знаки производной по обе стороны: без их смены экстремума нет.

Искать экстремумы только среди нулей производной. Ошибка возникает, когда забывают о точках с углом или изломом графика. Сначала проверяйте, где производная не существует, и включайте такие точки в список критических.

Путать знак производной со свойством самой функции. Плюс означает возрастание, а минус — убывание, поэтому переход «плюс — минус» даёт максимум, не минимум. Полезно проговаривать направление движения графика слева направо.

Находить только абсциссу экстремума. Значение x показывает положение точки, но не её координаты полностью. После нахождения x₀ обязательно вычислите f(x₀) и запишите точку (x₀; f(x₀)).

Связь с другими темами

Для работы с экстремумами нужны производная, правила её вычисления и связь знака производной с возрастанием и убыванием функции. Эти знания превращают исследование графика в последовательный анализ промежутков. Без них невозможно обосновать характер найденной точки.

Экстремумы помогают строить графики функций и составлять их таблицу монотонности. По максимумам, минимумам и промежуткам возрастания или убывания легче представить форму графика. При этом график служит способом проверить результат вычислений.

Дальше признаки экстремума применяются при поиске наибольшего и наименьшего значения на промежутке. Они также используются в математическом моделировании, когда нужно подобрать наилучший размер, расход или прибыль. В таких задачах дополнительно учитывают область допустимых значений и границы промежутка.

Что запомнить

• Экстремум — локальное свойство функции в окрестности точки.
• Внутри области определения экстремум дифференцируемой функции возможен только при f'(x₀) = 0.
• Критическими являются точки, где производная равна нулю или не существует.
• Переход производной с плюса на минус означает локальный максимум.
• Переход производной с минуса на плюс означает локальный минимум.
• Отсутствие смены знака производной не даёт экстремума.
• Для исследования функции нужно рассматривать все критические точки и интервалы между ними.