"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Производная помогает исследовать, как меняется функция, и на основе этого строить её график. Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна — убывает. Особые точки, в которых производная равна нулю или не существует, проверяют на экстремумы: максимумы и минимумы. Сначала находят область определения, затем исследуют знак производной на промежутках между такими точками и собирают результаты в таблицу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Промежуток возрастания функции — промежуток, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Если f′(x) > 0 на промежутке, функция на нём возрастает. Это свойство помогает определить, в какую сторону поднимается график.
Промежуток убывания функции — промежуток, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Отрицательная производная, f′(x) < 0, показывает, что функция убывает. По этому признаку можно найти участки графика, которые идут вниз слева направо.
Точка экстремума — точка, в которой функция меняет характер возрастания и убывания. Точка максимума возникает при переходе от возрастания к убыванию, а точка минимума — при переходе от убывания к возрастанию. Значения функции в этих точках называют соответственно максимумом и минимумом.
Критическая точка — внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. Критические точки проверяют при исследовании функции, так как в них может измениться знак производной. При этом не каждая критическая точка является точкой экстремума.
Производная описывает скорость изменения функции: её знак показывает, увеличиваются или уменьшаются значения f(x), когда x растёт. При положительной производной функция возрастает, при отрицательной — убывает. Если производная равна нулю, мгновенное изменение функции в этой точке равно нулю, но направление движения графика может как измениться, так и остаться прежним.
Исследование начинают с области определения, потому что за её пределами графика нет, а промежуток может быть разорван. Затем находят точки, где f′(x) = 0 или производная не существует, и отмечают границы области определения. Эти точки делят область на участки, внутри которых производная обычно непрерывна и не обращается в ноль, поэтому её знак там постоянен. Проверка каждого такого участка позволяет не пропустить разрыв или смену поведения функции.
Чтобы составить таблицу знаков, критические точки располагают на числовой прямой по порядку и выбирают по одному пробному значению из каждого промежутка. Подставляют его в выражение для производной или определяют знак множителей, на которые она разложена. Знак на всём промежутке будет таким же, если внутри нет других критических точек. Плюс отмечает возрастание, минус — убывание.
Экстремум определяется не самим значением производной в точке, а изменением поведения функции рядом с ней. Если слева f′ положительна, а справа отрицательна, функция сначала растёт, затем падает — в точке получается максимум. При переходе от минуса к плюсу сначала идёт убывание, а затем возрастание, значит, это минимум. Если знак не меняется, функция сохраняет направление движения и экстремума нет.
Для построения графика полученные промежутки показывают, где линия поднимается и где опускается, а найденные экстремумы задают важные точки с известными координатами. Область определения подсказывает, какие части графика нужно исключить и где могут быть разрывы. Эти сведения позволяют проверить общий ход графика: например, кривая не должна убывать на участке, где производная положительна. Чтобы получить точный рисунок, дополнительно учитывают значения функции и другие известные свойства.
Таблица помогает пройти исследование последовательно: от условий существования функции до её экстремумов. Заполните строки сверху вниз и проверьте, что каждый промежуток между критическими точками получил знак производной. Затем переведите знаки в выводы о возрастании и убывании.
| Что исследуем | Условие или действие | Что получаем |
|---|---|---|
| Область определения | Находим значения x, при которых функция задана | Допустимые значения аргумента и возможные границы |
| Критические точки | Решаем f′(x) = 0 и проверяем, где f′(x) не существует | Точки для разделения области определения |
| Знак производной на промежутках | Проверяем знак f′(x) между критическими точками | Плюс или минус на каждом промежутке |
| Промежутки возрастания | Выбираем промежутки, где f′(x) > 0 | Участки возрастания функции |
| Промежутки убывания | Выбираем промежутки, где f′(x) < 0 | Участки убывания функции |
| Точки максимума и минимума | Проверяем смену знака производной | Максимум при переходе + к −, минимум при − к + |
Решение. Найдём производную и выясним, в какой точке она меняет знак. Эта точка разделит числовую прямую на участки, где функция может вести себя по-разному. Для проверки знака достаточно взять по одному значению с каждой стороны.
Ответ: функция убывает на (−∞; 2) и возрастает на (2; +∞). В x = 2 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому там находится минимум; f(2) = −4. Точку разделения при записи промежутков монотонности можно присоединить к обеим частям, поскольку функция в ней определена.
Решение. Здесь производная обращается в ноль в двух точках, поэтому проверим знак на трёх промежутках. Разложение на множители помогает увидеть обе критические точки и определить знаки без громоздких вычислений. Сами точки экстремума подтвердим сменой знака.
Ответ: при x = 0 знак меняется с плюса на минус, значит, это точка максимума; f(0) = 0. При x = 2 знак меняется с минуса на плюс, поэтому это точка минимума; f(2) = −4. Таблица знаков показывает не только наличие экстремумов, но и порядок подъёмов и спусков графика.
Решение. В этой задаче сначала важно учесть, что знаменатель не может равняться нулю. Поэтому точка x = 0 разделит область определения, хотя сама в неё не входит. Исследуем знак производной отдельно по обе стороны от разрыва.
Ответ: функция возрастает на (−∞; −2) и (2; +∞), убывает на (−2; 0) и (0; 2). При построении графика учитывают, что x = 0 не принадлежит области определения, поэтому через эту точку график не проходит. Найденные экстремумы задают вершины ветвей: (−2; −4) и (2; 4).
Нельзя объявлять любую точку, где f′(x) = 0, экстремумом. Так делают, потому что нулевое значение производной кажется признаком остановки графика, но функция может продолжать возрастать или убывать. Проверьте знаки производной слева и справа: без смены знака экстремума нет.
Не пропускайте точки области определения, где производная не существует. Их иногда не замечают, потому что ищут только корни уравнения f′(x) = 0, однако такая точка может разделять промежутки исследования. Выпишите отдельно область определения и проверьте, где формула производной не имеет смысла.
Знак производной нельзя путать со знаком самой функции. Отрицательная f′(x) означает убывание, а не то, что график лежит ниже оси Ox; функция при этом может иметь положительные значения. Чтобы проверить положение графика, подставьте x в f(x), а для направления изменения изучайте f′(x).
Нельзя включать в промежуток монотонности точки, где функция не определена, или проводить промежуток через разрыв. Это происходит, если записывать ответ только по знаку производной и забыть про область определения. Сверьте каждый промежуток с допустимыми значениями x: в задаче с 4/x точка 0 обязательно остаётся исключённой.
Для такого исследования нужны навыки нахождения производных основных функций, решения уравнений и неравенств, а также определения области определения. Понятия возрастания, убывания и экстремума знакомы по исследованию функций без производной; производная даёт удобный способ находить эти свойства. Результаты применяют при построении графиков и поиске наибольших и наименьших значений, в том числе в задачах на оптимизацию, где нужно выбрать наилучший вариант.
Почему положительная производная означает, что функция возрастает?
Производная показывает скорость изменения функции при изменении аргумента. Если она положительна на промежутке, при движении слева направо значения функции увеличиваются, поэтому функция возрастает.
Какие точки нужно включать в список критических?
Включают внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Точки вне области определения критическими не являются, но могут быть границами промежутков исследования.
Как понять по таблице знаков производной, есть ли экстремум?
Посмотрите на знаки производной слева и справа от точки. Переход с плюса на минус означает максимум, а с минуса на плюс — минимум; если знак не изменился, экстремума нет.
Может ли точка, где производная равна нулю, не быть экстремумом?
Да. Например, у функции f(x) = x³ производная равна нулю при x = 0, но по обе стороны от этой точки она положительна. Функция продолжает возрастать, поэтому экстремума в нуле нет.
Зачем находить область определения перед исследованием функции?
Область определения показывает, при каких x функция вообще существует. Она помогает не включить в промежутки точки, где функция не задана, и найти границы, которые нужно учитывать при исследовании.
§ 51. Применение производной к построению графиков функций
