§ 52. Наибольшее и наименьшее значения функции

Определения и обозначения

Число M называют наибольшим значением функции на заданном множестве, если для всех допустимых x выполняется f(x) ≤ M и хотя бы при одном x функция принимает значение M. Иными словами, выше этого числа график на рассматриваемом множестве не поднимается, но сама верхняя граница обязательно достигается. Это определение помогает отличить наибольшее значение от числа, которое лишь ограничивает функцию сверху.

Число m называют наименьшим значением функции на множестве, если для всех допустимых x выполняется f(x) ≥ m и хотя бы при одном x функция принимает значение m. Значит, ниже m график не опускается, а в какой-то точке действительно достигает этой высоты. Такое условие нужно, чтобы не спутать минимум с нижней границей, к которой функция только приближается.

Запись max f(x) на заданном промежутке обозначает наибольшее значение функции, а min f(x) — наименьшее. Например, x = 2 может быть аргументом, при котором достигается максимум, тогда как f(2) — само значение функции. Различать эти числа полезно и в записи ответа: в задаче обычно просят именно значение, но иногда также спрашивают точку его достижения.

Критической точкой называют внутреннюю точку области определения функции, в которой производная равна нулю или не существует. Такие точки выделяют потому, что внутри промежутка функция может изменить направление роста именно там. Критические точки составляют список кандидатов на экстремум, но требуют последующей проверки сравнением значений.

Как это устроено

На графике наибольшее и наименьшее значения — это крайние высоты y, которые функция действительно принимает на рассматриваемом промежутке. Они не обязаны находиться на концах: вершина или впадина графика внутри отрезка может подняться выше или опуститься ниже обоих концов. Поэтому нужно рассматривать весь график над выбранным промежутком, а не только его крайние точки.

У непрерывной функции на замкнутом отрезке существуют наибольшее и наименьшее значения. Замкнутый отрезок включает концы, а непрерывность означает, что график не имеет разрывов и скачков; вместе эти свойства гарантируют, что график достигает верхней и нижней границ. Если отрезок не включал бы границы или функция имела бы разрыв, крайнее значение могло бы не достигаться.

Внутренний экстремум — максимум или минимум относительно близких точек — у дифференцируемой функции обычно ищут там, где f′(x) = 0. Причина в том, что в гладкой вершине касательная горизонтальна. Но возможен экстремум и в точке, где производная не существует, например при остром угле, поэтому такие точки тоже нужно проверять.

Для поиска значений на отрезке сначала находят все критические точки внутри него. Затем вычисляют функцию в этих точках и на обоих концах, после чего сравнивают полученные числа. Такой алгоритм охватывает все возможные места достижения крайних значений для непрерывной функции на отрезке.

Одной проверки критических точек недостаточно: самое большое или маленькое значение может находиться на конце отрезка. Кроме того, локальный экстремум описывает поведение только рядом с точкой и не обязательно превосходит или меньше всех значений на всём промежутке. Сравнение значений в критических точках и на концах позволяет определить именно глобальные, то есть общие для всего отрезка, границы.

Поиск наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Сначала составьте полный список: критические точки внутри отрезка и оба конца, затем вычислите значения функции. Последние две строки таблицы — итог сравнения, а не отдельные точки, которые нужно искать. Если несколько аргументов дают одно и то же крайнее значение, укажите это число и все точки его достижения.

Разбор задач

Функция f(x) = x² − 4x на отрезке [0; 3]

Нужно сравнить значения функции в точках, где производная равна нулю, и на концах отрезка. Производная здесь существует всюду, поэтому других внутренних критических точек нет. Сначала найдём кандидатов, а затем проверим, какое значение является самым большим и самым маленьким.

1. Находим производную: f′(x) = 2x − 4. Решаем 2x − 4 = 0 и получаем x = 2; эта точка лежит внутри отрезка [0; 3].
2. Вычисляем значения в кандидатах: f(0) = 0, f(2) = 4 − 8 = −4, f(3) = 9 − 12 = −3. Точка x = 2 даёт значение меньше, чем оба конца.
3. Сравниваем числа 0, −4 и −3. Самое большое — 0, самое маленькое — −4.

Ответ: наибольшее значение равно 0 при x = 0; наименьшее равно −4 при x = 2. Само число −4 — значение функции, а x = 2 — аргумент, при котором оно достигается.

Функция f(x) = x³ − 3x на отрезке [−2; 1,5]

Кубическая функция непрерывна на всём отрезке, поэтому её крайние значения существуют. Производная может обратиться в ноль в двух внутренних точках, и обе нужно проверить вместе с концами. Сравнение также покажет, может ли одно и то же крайнее значение достигаться несколько раз.

1. Находим производную f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Критические точки: x = −1 и x = 1; обе принадлежат отрезку.
2. Вычисляем значения: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(1,5) = 3,375 − 4,5 = −1,125. Проверены обе критические точки и оба конца.
3. Сравниваем полученные числа: наибольшее — 2, наименьшее — −2. Минимум достигается в двух точках: x = −2 и x = 1.

Ответ: наибольшее значение равно 2 при x = −1; наименьшее равно −2 при x = −2 и x = 1. Повторение одного значения не меняет его величину, но у него могут быть разные точки достижения.

Функция f(x) = √(x + 1) − x на отрезке [−1; 3]

Сначала учитываем область определения: x + 1 ≥ 0, то есть x ≥ −1, поэтому весь данный отрезок допустим. Производная не существует при x = −1, хотя сама функция там определена, значит, эту точку нельзя пропустить. Затем проверим внутреннюю стационарную точку и оба конца, как требует общий алгоритм.

1. При x > −1 производная равна f′(x) = 1/(2√(x + 1)) − 1. Она не существует при x = −1. Решая f′(x) = 0, получаем √(x + 1) = 1/2, откуда x = −3/4.
2. Вычисляем значения: f(−1) = 1, f(−3/4) = 1/2 + 3/4 = 1,25, f(3) = 2 − 3 = −1. Все найденные точки входят в проверку.
3. Среди чисел 1, 1,25 и −1 наибольшее — 1,25, а наименьшее — −1. Значение в точке, где производная не существует, не является крайним, но его всё равно нужно было сравнить.

Ответ: наибольшее значение равно 1,25 при x = −3/4; наименьшее равно −1 при x = 3. Этот пример показывает, почему недостаточно искать только корни уравнения f′(x) = 0.

Типичные ошибки

Первая ошибка — проверять только точки, где производная равна нулю, и забывать концы отрезка. Это происходит, когда алгоритм поиска экстремумов механически сводят к решению уравнения f′(x) = 0. Проверка себя проста: до сравнения убедитесь, что в списке есть оба конца заданного отрезка.

Вторая ошибка — считать, что любая критическая точка даёт наибольшее или наименьшее значение на всём отрезке. Критическая точка может соответствовать лишь локальному экстремуму, который уступает значению на конце или в другой точке. Чтобы проверить ответ, сравните числа, полученные во всех кандидатах, а не только в точке локального максимума или минимума.

Третья ошибка — исключать точки, где производная не существует, хотя функция в них определена. Так бывает, если критические точки ошибочно отождествляют только с корнями уравнения f′(x) = 0. Проверьте область определения функции отдельно от области существования производной и подставьте подходящие точки в функцию.

Четвёртая ошибка — путать аргумент с соответствующим значением функции: например, называть x = 2 наибольшим значением, хотя это может быть лишь точкой достижения. Путаница возникает потому, что оба числа относятся к одной и той же точке графика, но измеряются по разным осям. Для самопроверки запишите пару: аргумент x, затем значение f(x); в ответе укажите, какое из них спрашивается.

Связь с другими темами

Для решения нужны навыки нахождения производной, решения уравнения f′(x) = 0 и определения области функции. Связь знака производной с возрастанием и убыванием помогает понять, где возможны экстремумы и как меняется график. Наибольшие и наименьшие значения применяют при исследовании графиков и в задачах оптимизации: например, чтобы найти наибольшую прибыль или наименьший расход.

Что запомнить

• Наибольшее и наименьшее значения — это значения функции, а не аргументы.
• Непрерывная функция на отрезке достигает на нём наибольшего и наименьшего значений.
• На отрезке проверяют критические точки внутри него и оба конца.
• Критическими могут быть точки, где производная равна нулю или не существует.
• Глобальный максимум или минимум не обязательно совпадает с локальным экстремумом.
• После вычислений значения функции нужно сравнить.