Наибольшее и наименьшее значения функции

Определения и обозначения

Наибольшее значение функции на множестве — значение M, для которого f(x) ≤ M при всех x из этого множества и которое функция принимает хотя бы в одной точке. Иначе говоря, M не меньше ни одного другого значения функции на выбранном множестве. Это определение помогает понять, что результат поиска должен быть не просто верхней границей, а реально достигнутым значением.

Наименьшее значение функции на множестве — значение m, для которого f(x) ≥ m при всех x из множества и которое функция принимает хотя бы в одной точке. Оно не больше всех остальных значений и тоже должно достигаться. Это условие отличает наименьшее значение от числа, к которому значения функции лишь приближаются.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a; b] — это значения, соответственно не меньшие и не большие всех остальных значений функции на этом отрезке. Отрезок включает концы a и b, поэтому значения в этих точках тоже участвуют в сравнении. Такое уточнение важно при поиске крайних значений по формуле.

Точка экстремума — внутренняя точка области определения, в которой функция имеет локальный максимум или минимум, то есть рядом с ней принимает соответственно не большие или не меньшие значения. Точка экстремума может оказаться кандидатом на наибольшее или наименьшее значение всего отрезка. Но это нужно проверить сравнением, поскольку локальный экстремум не обязательно является крайним на всём отрезке.

Как это устроено

Наибольшее и наименьшее значения не следует путать с локальными максимумом и минимумом. Для глобального наибольшего значения сравнивают f(x) со значениями во всех точках заданного множества, а для локального достаточно рассмотреть точки поблизости. Поэтому на одном графике может быть несколько локальных максимумов, но только одно наибольшее значение на отрезке, если функция его достигает.

Непрерывная функция на отрезке обязательно достигает на нём наибольшего и наименьшего значений. Причина в том, что отрезок замкнут и ограничен: он включает свои концы и не уходит бесконечно далеко, а непрерывная функция не совершает скачков. Вместе эти свойства не дают значениям «убежать» к недостижимой границе и обеспечивают точки, где крайние значения принимаются.

Внутри отрезка кандидатов ищут среди критических точек: это точки, где производная равна нулю или не существует. В точке локального экстремума производная часто равна нулю, потому что график может временно перестать подниматься или опускаться; однако возможен и острый угол, где производной нет. Концы отрезка тоже кандидаты: там значение может стать крайним без какого-либо изменения знака производной внутри.

Чтобы применить алгоритм, сначала убеждаются, что функция непрерывна на всём отрезке. Затем находят производную, решают уравнение f′(x) = 0 и отмечают внутренние точки, где производная не существует; неподходящие и лежащие вне отрезка точки отбрасывают. После этого вычисляют значения функции в оставшихся точках и на концах, а наибольшее и наименьшее числа среди полученных и будут ответом.

Производная показывает направление изменения функции: при положительной производной функция возрастает, а при отрицательной — убывает. Если знак производной меняется с плюса на минус, функция переходит от возрастания к убыванию и в точке смены имеет локальный максимум; смена с минуса на плюс указывает на локальный минимум. Если знак не меняется, равенство f′(x) = 0 само по себе экстремума не гарантирует, поэтому значения кандидатов всё равно нужно сравнивать.

Поиск наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Двигайтесь по строкам сверху вниз: каждый этап готовит данные для следующего. В конце должен получиться полный список значений-кандидатов, включая оба конца отрезка. Если функция не непрерывна на отрезке, сначала проверьте отдельно, можно ли вообще применять утверждение о достижении крайних значений.

Разбор задач

Задача 1

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x² − 2x на отрезке [0; 3]. Поскольку это многочлен, функция непрерывна на всём отрезке. Значит, достаточно сравнить значения в концах и во внутренних критических точках.

1. Найдём производную: f′(x) = 2x − 2. Приравняем её к нулю: 2x − 2 = 0, откуда x = 1.
2. Точка 1 принадлежит отрезку [0; 3], поэтому включаем её в список кандидатов вместе с концами 0 и 3.
3. Вычислим значения: f(0) = 0, f(1) = 1 − 2 = −1, f(3) = 9 − 6 = 3.
4. Сравним результаты: наименьшее число равно −1, наибольшее — 3.

Ответ: наименьшее значение −1, наибольшее значение 3. Отрицательное значение внутри отрезка меньше обоих значений на концах. Если бы мы проверили только f′(x) = 0, то пропустили бы наибольшее значение, которое достигается в конце x = 3.

Задача 2

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ − 3x на отрезке [−2; 2]. Функция является многочленом и непрерывна на отрезке. У неё могут быть несколько внутренних критических точек, поэтому сначала найдём все решения уравнения f′(x) = 0.

1. Производная равна f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1). Уравнение f′(x) = 0 даёт x = −1 и x = 1.
2. Обе точки принадлежат [−2; 2], следовательно, сравниваем значения в −2, −1, 1 и 2.
3. Вычислим: f(−2) = −8 + 6 = −2; f(−1) = −1 + 3 = 2; f(1) = 1 − 3 = −2; f(2) = 8 − 6 = 2.
4. Наибольшее из полученных чисел — 2, наименьшее — −2.

Ответ: наибольшее значение 2, наименьшее значение −2. В этом примере каждое из крайних значений достигается в двух точках. Это допустимо: определение требует, чтобы значение достигалось хотя бы один раз, но не запрещает нескольких точек достижения.

Задача 3

Найдём крайние значения функции f(x) = x + 4/x на отрезке [1; 4]. В знаменателе стоит x, и на данном отрезке x не равен нулю, поэтому функция определена и непрерывна на всём отрезке. Это необходимо проверить, иначе нельзя без дополнительного обоснования заключать, что оба крайних значения достигаются.

1. Найдём производную: f′(x) = 1 − 4/x². Решая 1 − 4/x² = 0, получаем x² = 4, то есть x = −2 или x = 2.
2. Из найденных точек отрезку [1; 4] принадлежит только x = 2. Точка −2 находится вне отрезка и в сравнении не участвует.
3. Вычислим значения в точке 2 и на концах: f(1) = 5, f(2) = 4, f(4) = 5.
4. Сравним числа: наименьшее равно 4, наибольшее равно 5.

Ответ: наименьшее значение 4, наибольшее значение 5. Концы отрезка дают одинаковое наибольшее значение. Если бы на отрезке была точка разрыва или функция не была бы определена, непрерывность на всём отрезке нарушилась бы и гарантию существования крайних значений применять было бы нельзя.

Типичные ошибки

Первая ошибка — проверять только точки, где f′(x) = 0, и забывать концы отрезка. Так поступают, потому что связывают поиск экстремумов только с производной, хотя крайнее значение может достигаться и на границе. Чтобы проверить решение, убедитесь, что в список кандидатов включены a и b.

Вторая ошибка — учитывать критические точки, лежащие вне заданного отрезка. Их находят при решении уравнения для производной, но они не принадлежат множеству, на котором сравниваются значения. Проверяйте каждую найденную координату условием a ≤ x ≤ b и исключайте неподходящие.

Третья ошибка — принять корень уравнения f′(x) = 0 за ответ. Корень указывает на возможного кандидата, но задача спрашивает значение функции, поэтому в этой точке нужно вычислить f(x), а затем сравнить результат с остальными. Самопроверка проста: в ответе должны быть числа, полученные подстановкой всех кандидатов, а не только их координаты.

Четвёртая ошибка — считать, что крайние значения существуют на любом промежутке. На открытых и неограниченных множествах функция может приближаться к границе, не достигая её, или расти без ограничения. Проверяйте, является ли множество замкнутым ограниченным отрезком и непрерывна ли на нём функция; если условия не выполнены, существование нужно обосновать отдельно.

Связь с другими темами

Для поиска крайних значений нужны производная, критические точки и интервалы возрастания и убывания. Именно производная помогает найти внутренние места, где поведение функции может измениться. Знание непрерывности объясняет, почему на замкнутом отрезке крайние значения действительно достигаются.

Тема продолжает изучение свойств функции на отрезке и связывает вычисления с анализом графика. Найденные значения помогают исследовать функцию, строить графики и решать прикладные задачи на оптимизацию — например, выбирать наибольшую прибыль или наименьший расход. Поэтому важно не только находить производную, но и грамотно сравнивать все кандидаты.

Что запомнить

• На отрезке непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значений.
• Кандидаты на экстремальные значения на отрезке — его концы и внутренние критические точки.
• Критические точки нужно проверять на принадлежность отрезку.
• Значения функции во всех кандидатах необходимо вычислить и сравнить.
• Нулевая производная сама по себе не гарантирует экстремум.
• На произвольном промежутке крайнее значение может не достигаться.