"Алгебра и начала математического анализа", Муравин Г.К., Муравина О.В
Наибольшее и наименьшее значения функции показывают, каких самых больших и маленьких значений она достигает на заданном множестве. Их ищут, например, чтобы определить максимальную площадь или минимальные затраты. Для непрерывной функции на отрезке достаточно проверить концы отрезка и внутренние критические точки, а затем сравнить значения функции во всех найденных точках. Одного решения уравнения f′(x) = 0 для ответа недостаточно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Наибольшее значение функции на множестве — значение, которое функция принимает хотя бы в одной точке этого множества и которое не меньше всех остальных её значений. Иными словами, если в точке x₀ функция равна M, то для каждой точки x из множества выполняется f(x) ≤ M. Это понятие помогает точно описать максимальный результат, например самую большую площадь или высоту.
Наименьшее значение функции на множестве — значение, которое функция принимает хотя бы в одной точке этого множества и которое не больше всех остальных её значений. Если в точке x₀ функция равна m, то для любой точки x из рассматриваемого множества f(x) ≥ m. Такое значение нужно, чтобы находить минимальные расходы, расстояния или другие величины.
Точка, в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение на рассматриваемом множестве, называется точкой достижения этого значения. Координата точки — это аргумент x₀, а само значение функции — число f(x₀); их не следует путать. Точек достижения может быть несколько, поэтому при ответе указывают и значение, и все соответствующие аргументы, если задача требует их найти.
Непрерывность означает, что график функции не совершает скачков: при изменении аргумента на малую величину значение функции также меняется постепенно. Отрезок замкнут и ограничен: он содержит оба конца, а все его точки лежат между ними. Благодаря этим свойствам непрерывная функция на отрезке не может приблизиться к предельному значению, так и не приняв его, поэтому обязательно достигает и наибольшего, и наименьшего значений.
Внутри отрезка график может менять направление, а у гладкой функции это происходит в критических точках. Но наибольшая или наименьшая высота графика может оказаться и на краю отрезка: например, функция может возрастать на всём промежутке. Поэтому нужно проверять не только внутренние точки, но и оба конца, даже если производная нигде внутри не обращается в ноль.
Сначала находят концы заданного отрезка, затем ищут внутренние критические точки: решают уравнение f′(x) = 0 и выясняют, где производная не существует. Критической называют точку, в которой производная равна нулю или не существует; при этом сама функция в ней должна быть определена. Из найденных точек оставляют лишь те, которые лежат внутри рассматриваемого отрезка, поскольку значения за его пределами на ответ не влияют.
Уравнение f′(x) = 0 помогает найти возможные места поворота графика, но не устанавливает глобальный максимум или минимум. В одной критической точке функция может не иметь ни максимума, ни минимума, а в другой точке отрезка значение может оказаться ещё больше или меньше. Поэтому вычисляют f(x) для каждого кандидата, включая концы, и сравнивают полученные числа: самое большое будет максимумом, самое маленькое — минимумом.
В прикладной задаче сначала выбирают переменную и выражают через неё величину, которую требуется оптимизировать. Затем из условий задачи находят допустимые значения переменной — часто это отрезок — и проверяют критические точки и концы по тому же правилу. Такой перевод задачи на язык функции позволяет не перебирать все варианты, а обоснованно сравнить конечный список кандидатов.
Таблица показывает порядок действий: сначала выясняют, на каком отрезке функция рассматривается, затем составляют список кандидатов и находят значения функции. Пользуйтесь ею как проверочным списком, не переходя сразу к вычислению производной, пока не учтены область определения и границы. В конце сравните именно значения функции, а не координаты точек.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Область рассмотрения | Найти область определения и заданный отрезок | Функция должна быть определена на всём отрезке |
| Кандидаты внутри отрезка | Найти точки, где f′(x) = 0 или производная не существует | Учитывать только точки, принадлежащие отрезку |
| Кандидаты на концах | Вычислить значения функции на обоих концах отрезка | Концы включаются в сравнение |
| Сравнение | Вычислить значения функции во всех кандидатах | Наибольшее из них — максимум, наименьшее — минимум |
Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x² − 4x + 1 на отрезке [0; 5]. Сначала найдём точку, в которой график внутри отрезка может менять направление, а затем проверим границы. Это позволит сравнить все возможные кандидаты, а не делать вывод только по виду формулы.
Ответ: максимум 6 достигается при x = 5; минимум −3 достигается при x = 2. Крайняя точка отрезка дала максимум, поэтому пропуск концов привёл бы к неверному результату.
Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ − 3x на отрезке [−2; 2]. Здесь проверим обе внутренние критические точки и оба конца. Пример также показывает, что одно и то же крайнее значение может получиться в нескольких точках.
Ответ: максимум 2 достигается при x = −1 и x = 2; минимум −2 — при x = −2 и x = 1. Не нужно выбирать только одну точку, если одинаковое крайнее значение получено в нескольких точках.
Задача 3. Прямоугольник имеет периметр 20 см. Найти его наибольшую возможную площадь. Обозначим одну сторону через x, а другую выразим из условия на периметр; тогда задача о фигуре станет задачей о значениях функции площади. Стороны прямоугольника положительны, поэтому допустимо 0 < x < 10; концы отрезка можно включить для сравнения, продолжив формулу площади до них.
Ответ: наибольшая площадь равна 25 см². Она получается при x = 5 см и y = 5 см, то есть когда прямоугольник является квадратом.
Проверяют только точки, где f′(x) = 0, и забывают концы отрезка. Так поступают, потому что связывают изменение графика только с внутренними критическими точками, но максимум или минимум может находиться на границе. Проверьте себя: в итоговом списке кандидатов должны быть оба конца, и для них должны быть вычислены значения функции.
Считают каждую точку с f′(x) = 0 точкой максимума или минимума. Нулевая производная лишь указывает на кандидата, а график в такой точке может продолжать возрастать или убывать. Проверьте себя сравнением: только наибольшее или наименьшее значение среди всех кандидатов даёт глобальный максимум или минимум на отрезке.
Не учитывают точку, где производная не существует. Её часто пропускают, потому что привычный алгоритм сводят к решению уравнения f′(x) = 0; однако функция может быть определена в такой точке и принимать там крайнее значение. Проверьте, есть ли такие точки внутри отрезка, и включите их в сравнение, если функция в них определена.
Находят критические точки, но не вычисляют значения функции в них. Координата аргумента сама по себе не сообщает, какое число является максимумом или минимумом, поэтому на этом шаге решение остаётся незавершённым. Проверьте себя: в ответе должны быть сравнение значений f(x) и сами крайние значения, а не только список x.
Для этой темы нужно уметь находить производную, решать уравнение f′(x) = 0 и подставлять аргумент в формулу функции. Понимание свойств непрерывной функции на отрезке объясняет, почему крайние значения существуют, а связь знака производной с поведением функции помогает находить кандидатов. Дальше этот способ применяется в задачах на оптимизацию: например, для поиска максимальной площади или минимальных затрат.
Почему при поиске максимума на отрезке обязательно проверять его концы?
Наибольшее значение может достигаться на левом или правом конце отрезка, даже если внутри нет точки с f′(x) = 0. Поэтому значения функции на обоих концах обязательно сравнивают с результатами во внутренних критических точках.
Нужно ли проверять точку, где производная не существует?
Да, если сама функция в этой точке определена и точка принадлежит отрезку. Там может достигаться максимум или минимум, поэтому значение функции нужно включить в сравнение.
Всегда ли точка, в которой производная равна нулю, является максимумом или минимумом?
Нет. Например, у функции f(x) = x³ производная равна нулю при x = 0, но функция продолжает возрастать по обе стороны от этой точки. Чтобы установить максимум и минимум на отрезке, сравнивают значения функции во всех кандидатах.
Как определить, принадлежит ли критическая точка отрезку?
Сравните координату точки с концами отрезка. Для отрезка [a; b] точка x принадлежит ему, если a ≤ x ≤ b; критические точки за его пределами не учитывают.
Может ли наибольшее или наименьшее значение достигаться в нескольких точках?
Да, разные точки могут давать одно и то же наибольшее или наименьшее значение. Например, у функции x³ − 3x на отрезке [−2; 2] максимум 2 достигается при x = −1 и x = 2, а минимум −2 — при x = −2 и x = 1.
10. Наибольшее и наименьшее значения функции
