Выпуклость графика функции, точки перегиба

Определения и обозначения

Выпуклость графика функции — свойство его формы на промежутке, которое описывают через знак второй производной f″(x). Если f″(x) > 0, график называют выпуклым вниз; если f″(x) < 0 — выпуклым вверх. Эти названия соответствуют принятой в школьном курсе терминологии. Они помогают определить, в какую сторону изгибается график, не рассматривая его рисунок.

График выпуклый вниз, когда на рассматриваемом промежутке он расположен не ниже своих касательных. Касательная — прямая, которая касается графика в точке и показывает его направление вблизи этой точки. При таком виде выпуклости наклон касательных возрастает слева направо. Это геометрическое описание позволяет связать вычисление производных с формой графика.

График выпуклый вверх, когда он расположен не выше своих касательных. Наклон касательных на таком промежутке убывает. Этот вид выпуклости не следует путать с направлением ветвей всей функции: речь идёт о поведении графика именно на выбранном участке. Различать два вида удобно и по знаку f″.

Точка перегиба — точка графика, при переходе через которую меняется характер выпуклости. С одной стороны от неё график выпуклый вверх, а с другой — вниз, или наоборот. Чтобы назвать такую точку, обычно указывают обе координаты. Сам факт, что f″ в некоторой точке равна нулю, ещё не доказывает наличие перегиба.

Признак точки перегиба состоит в смене знака второй производной при переходе через точку, где функция определена и непрерывна. Равенство f″(x₀) = 0 или отсутствие f″ в x₀ указывает лишь на возможного кандидата. Проверка знака нужна потому, что без смены выпуклости график может просто продолжать изгибаться в ту же сторону. Так отделяют настоящие точки перегиба от остальных особых точек.

Как это устроено

Вторая производная f″ показывает, как изменяется первая производная f′, то есть наклон касательной к графику. При f″ > 0 первая производная возрастает, поэтому наклон касательных становится больше слева направо. При f″ < 0 первая производная убывает, а наклоны касательных становятся меньше. Так знак второй производной объясняет геометрический смысл выпуклости.

Чтобы определить выпуклость, сначала находят f″, а затем исследуют её знак на нужном промежутке. Если знак постоянный и положительный, весь участок графика выпуклый вниз; если постоянный и отрицательный — выпуклый вверх. Знак проверяют отдельно на каждом промежутке, потому что между ними вторая производная может обратиться в нуль или перестать существовать. Тогда характер изгиба по разные стороны этой границы может различаться.

Алгоритм поиска перегибов начинается с определения области функции и её второй производной. Затем находят значения x, при которых f″(x) = 0 или f″ не существует, и включают их в список кандидатов. Эти значения разбивают область определения на промежутки; на каждом выбирают пробную точку и определяют знак f″. Если по обе стороны кандидата знаки противоположны, выпуклость меняется и кандидат является абсциссой точки перегиба.

Нуль второй производной сам по себе не гарантирует перегиба, поскольку функция может изгибаться одинаково с обеих сторон. Например, для f(x) = x⁴ имеем f″(x) = 12x², и при x = 0 вторая производная равна нулю. Но для отрицательных и положительных x она неотрицательна, то есть знак не меняется. Поэтому график в нуле не переходит от выпуклости одного вида к другому.

Геометрически перегиб означает переход графика от выпуклости вверх к выпуклости вниз или обратно в окрестности точки. Вторая производная может быть равна нулю в самой точке, но это не обязательное условие: она может там не существовать. Главное — сравнить поведение графика по обе стороны, проверив смену знака f″. После определения абсциссы подставляют её в исходную функцию, чтобы получить координату y.

На графике y = x³ точка (0; 0) разделяет два участка с разной выпуклостью. Слева от нуля вторая производная отрицательна, а справа положительна. Поэтому график меняет вид изгиба при переходе через начало координат.

Выпуклость графика и знак второй производной

Пользуйтесь таблицей после того, как разделили область определения на промежутки и выяснили знак f″ на каждом из них. По знаку сразу определите вид выпуклости, а для границ сравните знаки слева и справа. Только смена знака подтверждает перегиб.

Разбор задач

Промежутки выпуклости функции f(x) = x³

Найдём, как меняется изгиб графика по разные стороны от нуля. В этой точке вторая производная обращается в нуль, поэтому нужно проверить знаки на двух промежутках. В расчётах используем правило: положительная вторая производная означает выпуклость вниз, отрицательная — вверх.

1. Находим производные: f′(x) = 3x², f″(x) = 6x.
2. Решаем уравнение 6x = 0 и получаем границу x = 0.
3. При x < 0 выражение 6x отрицательно, поэтому график выпуклый вверх на (−∞; 0). При x > 0 оно положительно, поэтому график выпуклый вниз на (0; +∞).

Ответ: график выпуклый вверх на (−∞; 0), выпуклый вниз на (0; +∞). В точке с абсциссой 0 знак f″ меняется, а f(0) = 0, значит, (0; 0) — точка перегиба.

Точки перегиба функции f(x) = x³ − 3x

Нужно найти не только возможную абсциссу перегиба, но и проверить смену выпуклости. Слагаемое −3x влияет на значение функции, но его вторая производная равна нулю. Поэтому характер выпуклости определяется так же, как у кубического слагаемого.

1. Вычисляем производные: f′(x) = 3x² − 3, f″(x) = 6x.
2. Приравниваем f″ к нулю: 6x = 0, откуда x = 0. Эта точка делит числовую прямую на два промежутка.
3. При x < 0 f″ < 0, значит, график выпуклый вверх; при x > 0 f″ > 0, значит, график выпуклый вниз. Знак меняется, поэтому x = 0 — абсцисса перегиба.
4. Находим ординату: f(0) = 0³ − 3 · 0 = 0.

Ответ: точка перегиба — (0; 0); выпуклость вверх на (−∞; 0), вниз на (0; +∞).

Функция f(x) = x⁴ − 4x³

Здесь вторая производная имеет два нуля, поэтому одной проверки знака недостаточно. Исследуем каждый участок, который они образуют, а затем отдельно вычислим координаты перегибов. Вторая производная существует при всех x, так что других границ исследования нет.

1. Находим производные: f′(x) = 4x³ − 12x², f″(x) = 12x² − 24x = 12x(x − 2).
2. Решаем 12x(x − 2) = 0: получаем x = 0 и x = 2. Они делят прямую на (−∞; 0), (0; 2) и (2; +∞).
3. На первом промежутке оба множителя x и x − 2 отрицательны, поэтому f″ > 0. На втором они имеют разные знаки, поэтому f″ < 0. На третьем оба положительны, поэтому f″ > 0.
4. Знак меняется и при x = 0, и при x = 2, значит, обе точки дают перегибы. Подставляем абсциссы: f(0) = 0, f(2) = 2⁴ − 4 · 2³ = −16.

Ответ: график выпуклый вниз на (−∞; 0) и (2; +∞), вверх на (0; 2). Точки перегиба — (0; 0) и (2; −16).

Типичные ошибки

Считать каждый нуль второй производной точкой перегиба — неверно: нуль лишь выделяет кандидата. Ошибка возникает, когда останавливаются после решения уравнения f″(x) = 0 и не исследуют промежутки. Для проверки выберите точки слева и справа от кандидата и сравните знаки f″. Если они одинаковы, перегиба нет, как у f(x) = x⁴ в нуле.

Путать выпуклость вверх и вниз легко, если ориентироваться только на бытовое представление о словах «вверх» и «вниз». В школьной договорённости f″ > 0 означает выпуклость вниз, а f″ < 0 — вверх; относительно касательной график при этом находится соответственно не ниже или не выше неё. Сверяйте название с этим геометрическим смыслом, а не с направлением роста функции. При сомнении сначала установите знак f″.

Проверять знак второй производной только в одной точке недостаточно: её знак может быть разным на разных промежутках. Такое бывает, когда у f″ несколько нулей или точек разрыва. Разбейте область определения всеми найденными границами и проверьте каждый участок отдельно. Таблица знаков помогает не пропустить смену.

Можно ошибочно не учесть точки, где f″ не существует, и исследовать только её нули. Такие точки тоже способны разделять промежутки с разными знаками второй производной, а значит, быть возможными перегибами. Составляя список кандидатов, проверяйте не только уравнение f″ = 0, но и область существования f″. Затем устанавливайте, определена ли сама функция и меняется ли выпуклость при переходе через точку.

Связь с другими темами

Для исследования выпуклости нужны правила нахождения первой и второй производных, решение уравнений и умение определять знак выражения на промежутках. Эти навыки позволяют составить таблицу знаков и установить, где меняется характер изгиба. Поэтому перед поиском перегибов полезно уверенно владеть вычислением производных.

Выпуклость и точки перегиба дополняют исследование функции: вместе с областю определения, производной, промежутками возрастания и экстремумами они помогают описать форму графика. Эти результаты используют при построении графиков и полном исследовании функций. Точки перегиба показывают, где график меняет характер изгиба.

Что запомнить

• Выпуклость на промежутке определяют по знаку второй производной.
• При f″ > 0 график выпуклый вниз; при f″ < 0 — выпуклый вверх.
• Точка перегиба связана со сменой вида выпуклости.
• Равенство f″(x₀) = 0 само по себе не доказывает наличие перегиба.
• Для проверки перегиба исследуют знак f″ по обе стороны от точки.
• Точки, где f″ не существует, также проверяют как возможные точки перегиба.