§ 53*. Выпуклость графика функции, точки перегиба

Определения и обозначения

Выпуклость графика функции — характеристика, описывающая направление изгиба графика на промежутке. Направление изгиба связывают со знаком второй производной f''(x). Это позволяет не угадывать форму графика по отдельным точкам, а исследовать её с помощью вычислений.

Выпуклость вниз означает, что график на рассматриваемом промежутке изгибается вниз, словно дуга с концами наверху. Если функция имеет вторую производную и f''(x) > 0 на всём промежутке, её график выпуклый вниз. Этот признак помогает отмечать участки графика при построении.

Выпуклость вверх означает, что график изгибается вверх, словно дуга с концами внизу. Если функция имеет вторую производную и f''(x) < 0 на промежутке, график выпуклый вверх. Знак проверяют именно на промежутке, а не в одной выбранной точке.

Точка перегиба — точка графика, при переходе через которую меняется направление его выпуклости: с выпуклости вниз на выпуклость вверх или наоборот. Чтобы её обнаружить, сначала находят возможные кандидаты, а затем проверяют изменение знака второй производной по сторонам от точки. Найденное значение x нужно подставить в функцию, чтобы указать координаты точки графика.

Как это устроено

Вторая производная показывает, как меняется первая производная. Если f''(x) > 0, первая производная возрастает: наклон графика становится всё больше. Поэтому функция возрастает быстрее или убывает медленнее, а её график изгибается вниз. Если же f''(x) < 0, первая производная убывает, наклон становится меньше: функция растёт медленнее или убывает быстрее, и график изгибается вверх.

Чтобы определить выпуклость, рассматривают знак f'' на всём промежутке. Если функция имеет вторую производную на этом промежутке и она всюду положительна, график выпуклый вниз; если всюду отрицательна — выпуклый вверх. Причина в том, что знак второй производной задаёт направление изменения наклона графика. Если знак меняется внутри области, её разбивают на промежутки и исследуют каждый отдельно.

В точке перегиба направление изгиба может измениться, поэтому для поиска кандидатов проверяют, где f''(x) = 0, а также где вторая производная не существует. Эти точки разделяют числовую прямую на промежутки, на которых знак f'' может быть постоянным. Однако равенство нулю или отсутствие второй производной не доказывает перегиб: знак может остаться прежним. Например, для f(x) = x⁴ вторая производная равна 12x² и не меняет знак при x = 0.

Проверка кандидата состоит в сравнении знаков f'' слева и справа. Если знак меняется, график переходит от одной выпуклости к другой; если не меняется, точка перегиба не возникает. Также сама функция должна быть определена в этой точке, иначе точки графика там нет. Для точки с абсциссой x₀ её ординату находят как f(x₀).

Рассмотрим y = x³. Вторая производная равна y'' = 6x: при x < 0 она отрицательна, а при x > 0 положительна. Значит, слева график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз. Направление изгиба меняется при переходе через ноль, и график проходит через точку (0, 0), поэтому это точка перегиба.

Выпуклость графика и знак второй производной

Сначала определите промежутки, на которых знак второй производной постоянен, затем прочитайте соответствующую строку таблицы. Если знак меняется у границы промежутков, проверьте, что функция определена в этой точке, и только после этого называйте её точкой перегиба.

Разбор задач

Задача 1. Исследовать выпуклость графика функции f(x) = x² на всей числовой прямой. Нужно выяснить, меняется ли направление изгиба, или оно одинаково при всех x. Для этого достаточно найти вторую производную и определить её знак.

1. Найдём производные: f'(x) = 2x, f''(x) = 2.
2. Вторая производная положительна при любом действительном x: 2 > 0.
3. Следовательно, на всей числовой прямой график выпуклый вниз. Знак не меняется, поэтому точек перегиба нет.

Ответ: график выпуклый вниз на всей числовой прямой; точек перегиба нет.

Задача 2. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции f(x) = x³ − 3x. Нули второй производной будут границами промежутков, на которых проверим знак. Затем отдельно выясним, меняется ли он у каждой такой границы.

1. Вычислим производные: f'(x) = 3x² − 3, f''(x) = 6x. Вторая производная равна нулю при x = 0.
2. При x < 0 имеем f''(x) < 0, поэтому график выпуклый вверх; при x > 0 f''(x) > 0, поэтому он выпуклый вниз.
3. Знак меняется при переходе через x = 0. Значение функции f(0) = 0, значит, точка перегиба — (0, 0).

Ответ: график выпуклый вверх на (−∞; 0), выпуклый вниз на (0; +∞); точка перегиба — (0, 0).

Задача 3. Исследовать выпуклость и найти точки перегиба функции f(x) = x⁴ − 4x³. Проверим все нули второй производной и посмотрим на знаки между ними: не каждый найденный кандидат обязательно окажется точкой перегиба.

1. Получаем f'(x) = 4x³ − 12x² и f''(x) = 12x² − 24x = 12x(x − 2). Нули второй производной: x = 0 и x = 2; она существует при всех x.
2. При x < 0 оба множителя x и x − 2 отрицательны, поэтому f'' > 0. При 0 < x < 2 множители имеют разные знаки, значит, f'' < 0; при x > 2 оба положительны, и f'' > 0.
3. Знак меняется при переходе через обе найденные точки. Вычисляем ординаты: f(0) = 0, f(2) = 16 − 32 = −16.

Ответ: график выпуклый вниз на (−∞; 0) и (2; +∞), выпуклый вверх на (0; 2). Точки перегиба: (0, 0) и (2, −16).

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать любую точку, где f''(x) = 0, точкой перегиба. Такое равенство лишь указывает на кандидата: знак второй производной может по обе стороны остаться тем же. Сверьте знаки на соседних промежутках; например, у функции x⁴ при x = 0 перегиба нет.

Вторая ошибка — проверять только нули второй производной и пропускать места, где она не существует. В такой точке функция может быть определена, а направление выпуклости — измениться. Разделите область определения точками, где f'' равна нулю или не существует, и исследуйте знак на каждом полученном промежутке.

Третья ошибка — путать выпуклость вверх и вниз. Название проще соотносить с формой дуги: при f'' > 0 график выпуклый вниз, при f'' < 0 — вверх. Проверьте себя по изменению наклона: первая производная соответственно возрастает или убывает.

Четвёртая ошибка — делать вывод о выпуклости всего промежутка по значению f'' в одной точке. В этой точке можно установить только локальный знак, но он не исключает смены знака дальше. Найдите нули и точки, где производная не существует, разделите ими промежуток и проверьте знак на каждом участке.

Связь с другими темами

Для исследования выпуклости нужно уметь находить первую и вторую производные и решать уравнение f''(x) = 0. Результаты дополняют исследование функции: промежутки выпуклости и точки перегиба помогают точнее строить график вместе с данными о возрастании и убывании.

Связь второй производной с изменением первой помогает объяснить поведение функции, а не только вычислить его. Это понимание используют и в задачах оптимизации, где исследуют, как меняется скорость роста или убывания величины.

Что запомнить

• При f''(x) > 0 график выпуклый вниз.
• При f''(x) < 0 график выпуклый вверх.
• Знак второй производной определяет выпуклость на промежутке, а не в отдельной точке.
• Точки, где f''(x) = 0 или не существует, — лишь кандидаты на точки перегиба.
• В точке перегиба выпуклость графика меняется.
• Для проверки перегиба исследуют знак f'' по обе стороны от точки.