"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Первообразная помогает восстановить функцию по её производной: нужно найти такую F, чтобы F′(x) совпадала с заданной функцией f(x). Одну и ту же функцию можно получить как производную множества функций, отличающихся постоянным слагаемым. Поэтому общий ответ записывают с постоянной интегрирования C. Первообразные находят по таблице и правилам дифференцирования, а проверяют обратным действием — берут производную результата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Первообразной функции f на промежутке называют функцию F, которая дифференцируема на этом промежутке и удовлетворяет равенству F′(x) = f(x). Здесь F′ обозначает производную F, а f — заданную функцию. Значит, чтобы проверить, является ли F первообразной, достаточно найти её производную. Это определение задаёт точное условие, которому должен отвечать результат поиска.
Первообразная не единственна: если F′(x) = f(x), то и (F(x) + C)′ = f(x) для любого постоянного числа C. Причина в том, что производная постоянной равна нулю. Поэтому к найденной функции можно прибавить любое число, не изменив её производную. Это объясняет, почему задачи обычно требуют не одну функцию, а все первообразные.
Семейство первообразных — это все функции вида F(x) + C, где F — одна первообразная заданной функции, а C — постоянное число. Например, функции x² и x² + 4 имеют одинаковую производную, но это разные функции. Семейство объединяет их и все остальные варианты, отличающиеся только постоянным слагаемым. Такой вид записи позволяет указать полный ответ.
Постоянная интегрирования C — произвольное слагаемое, которое указывают в общем виде первообразной. Она появляется потому, что при дифференцировании любая постоянная исчезает. Без C запись показывает только одну из возможных первообразных, а не всё семейство. Если дополнительно задано значение функции в точке, это условие помогает определить конкретное число C.
Нахождение первообразной обращает задачу дифференцирования: вместо вопроса «какова производная функции?» мы спрашиваем, «какая функция могла дать такую производную?». Например, для f(x) = 2x подходит F(x) = x², потому что (x²)′ = 2x. При этом ответ не всегда угадывают: удобнее сопоставить заданную функцию с известными производными. Так таблица производных превращается в набор формул для поиска первообразных.
Если F — первообразная f, прибавление C не меняет результат дифференцирования: (F + C)′ = F′ + C′ = f + 0. Поэтому найденная функция сразу представляет не единственный ответ, а целое семейство. Число C может быть любым, пока дополнительных условий нет. Если же условие, например, задаёт значение F в точке, из него можно выбрать единственное значение C.
Все первообразные одной функции на промежутке отличаются на постоянную. Чтобы понять почему, возьмём две такие функции F₁ и F₂: производная их разности равна f − f = 0. Функция с нулевой производной постоянна на промежутке, следовательно, F₁ − F₂ = C. Именно поэтому запись F(x) + C охватывает все варианты, а не только похожие на найденный пример.
Формулы первообразных получают проверкой дифференцированием в обратном направлении. Для степенной функции xⁿ пробуют xⁿ⁺¹/(n + 1): производная этого выражения равна xⁿ, если n ≠ −1. Для sin x подходит −cos x, поскольку производная −cos x равна sin x. Такая проверка полезна и при использовании готовой таблицы: она помогает заметить неверный знак или пропущенный множитель.
Правила для суммы и постоянного множителя тоже работают в обратном направлении. Если функция имеет вид a f(x) + b g(x), можно взять первообразные f и g по отдельности, умножить их на a и b и сложить. Это верно, потому что производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель выносится за знак производной. В конце добавляют одно общее C, поскольку разность любых двух полученных первообразных постоянна.
| Функция f(x) | Одна первообразная F(x) | Условия |
|---|---|---|
| xⁿ | xⁿ⁺¹/(n + 1) | n ≠ −1 |
| 1/x | ln|x| | x ≠ 0; на промежутках, не содержащих ноль |
| eˣ | eˣ | для всех x |
| sin x | −cos x | для всех x |
| cos x | sin x | для всех x |
| Для любой строки | F(x) + C | все первообразные |
В таблице указана одна первообразная для каждой функции, а полный ответ получают, добавляя C. Сначала проверь условия: особенно важно не подставлять n = −1 в степенную формулу. Затем дифференцируй выбранное выражение, чтобы убедиться, что получилось f(x).
Ищем функцию, производная которой равна 6x. Здесь заданная функция — степенная, поэтому применима формула для xⁿ при n = 1. После нахождения одной первообразной нужно добавить C, так как требуется указать все варианты.
Ответ: F(x) = 3x² + C, где C — любое число. При дифференцировании постоянная исчезает, а производная 3x² равна 6x. Значит, условие выполняется на всей числовой прямой.
Функция состоит из двух слагаемых, поэтому применим линейность: найдём первообразную каждого слагаемого отдельно. Множители 3 и −2 сохраняются при этом переходе. Особое внимание уделим знаку у первообразной cos x, чтобы после проверки получить именно 3cos x.
Ответ: F(x) = 3sin x − 2eˣ + C, где C — любое число. Производная суммы равна сумме производных слагаемых. Проверка совпала с заданной функцией, поэтому знаки и коэффициенты выбраны верно.
Для функции 1/x действует отдельная формула: её первообразная на положительном промежутке — ln x + C, поскольку при x > 0 выражение ln|x| равно ln x. Условие F(1) = 2 позволит найти C и выбрать одну функцию из семейства. Подставим заданный аргумент и значение аккуратно.
Ответ: F(x) = ln x + 2 при x > 0. Значение в точке 1 действительно равно 2, а производная совпадает с заданной функцией. Поэтому функция удовлетворяет обоим условиям задачи.
Записывают только одну первообразную и забывают C, хотя просят найти все. Это происходит, если помнить формулу, но не учитывать, что производная постоянной равна нулю. Проверка: прибавь к ответу произвольное число и убедись, что производная останется прежней. Если общий вид ответа не содержит C, скорее всего, он неполон.
Путают знак в первообразной sin x и пишут cos x. Ошибка возникает из-за того, что производная cos x равна −sin x, а нужный знак должен компенсировать этот минус. Правильно: первообразная sin x — −cos x. Самопроверка проста: продифференцируй ответ и сравни результат с исходной функцией.
Подставляют n = −1 в формулу xⁿ⁺¹/(n + 1) для степенной функции. Тогда в знаменателе получается ноль, а делить на ноль нельзя; случай 1/x требует отдельной формулы ln|x|. Проверь показатель перед применением правила: если n = −1, используй формулу для 1/x. Это позволит избежать бессмысленного выражения.
Не учитывают область, на которой рассматривают 1/x. Исходная функция не определена при x = 0, поэтому первообразную рассматривают на промежутке, не содержащем ноль. Логарифмическая запись ln|x| охватывает отрицательные и положительные значения, но не устраняет разрыв в нуле. Перед ответом укажи или проверь заданный промежуток.
Для поиска первообразных нужны определение производной и таблица производных элементарных функций: формулы первообразных строятся как обратные к ним. Далее семейство первообразных станет основой для изучения неопределённого и определённого интегралов. Кроме того, производная описывает скорость изменения величины, а первообразная помогает восстановить саму величину по известной скорости изменения. Например, по скорости движения можно находить закон изменения координаты.
Что значит, что F — первообразная функции f?
Это значит, что F дифференцируема на заданном промежутке и для каждого x на нём выполняется F′(x) = f(x). Иными словами, производная F возвращает исходную функцию f.
Почему к первообразной нужно прибавлять произвольную постоянную?
Производная любой постоянной равна нулю, поэтому прибавление числа C не меняет производную функции. Значит, если F — первообразная, то F + C тоже первообразная.
Чем одна первообразная отличается от всех первообразных?
Одна первообразная — это конкретная функция F, производная которой равна f. Все первообразные на промежутке записываются как F(x) + C, где C — любое постоянное число.
Как проверить, правильно ли найдена первообразная?
Нужно продифференцировать найденную функцию. Если после упрощения получается исходная функция f(x), ответ верен.
Почему для функции 1/x нельзя использовать обычную степенную формулу?
Функцию 1/x можно записать как x⁻¹, но подстановка n = −1 в формулу xⁿ⁺¹/(n + 1) приводит к делению на ноль. Для неё используют отдельную первообразную ln|x| на промежутках, не содержащих ноль.
§ 54. Первообразная
