2. Первообразная

Определения и обозначения

Первообразная функции f на промежутке — функция F, производная которой на этом промежутке равна f: F′(x) = f(x). Иными словами, если продифференцировать F, получится исходная функция. Это определение позволяет проверять найденный результат и связывает первообразные с уже знакомой операцией дифференцирования.

Неопределённый интеграл функции f — семейство всех её первообразных; его обозначают ∫f(x)dx. Знак ∫ указывает на поиск первообразной, а dx — на переменную, по которой выполняется действие. Такая запись нужна, чтобы выразить не одну функцию, а все возможные варианты ответа.

Постоянная интегрирования C — произвольное число, которое добавляют к одной найденной первообразной, чтобы получить остальные. Её производная равна нулю, поэтому прибавление C не меняет равенство F′(x) = f(x). Буква C показывает, что без дополнительного условия нельзя выбрать одну конкретную функцию из всего семейства.

Таблица первообразных — набор соответствий между функциями и их первообразными, полученных из правил дифференцирования. Например, соответствие x² и x³/3 проверяется тем, что производная x³/3 равна x². Таблица помогает находить типовые первообразные без повторного вывода формул каждый раз.

Как это устроено

Первообразную ищут как обратную операцию к дифференцированию: подбирают функцию, производная которой совпадает с заданной. Такое обращение возможно потому, что производные знакомых функций уже известны, и их можно читать в обратном направлении. Например, из правила (x³)′ = 3x² следует, что для 3x² подходит x³. После подбора стоит продифференцировать результат и сверить его с условием.

Если F — первообразная f, то F + C тоже первообразная, поскольку производная любой постоянной равна нулю. При дифференцировании сумма превращается в сумму производных, поэтому (F + C)′ = F′ + 0 = f. Именно поэтому добавление числа не меняет условие задачи, а разные значения C дают разные функции с одной и той же производной.

На промежутке любые две первообразные одной функции отличаются на постоянную, поэтому неопределённый интеграл записывают как F(x) + C. Это означает, что семейство F + C включает все варианты, а не только те, которые легко угадать из таблицы. Рассматривать именно промежуток важно: например, функция 1/x не определена при x = 0, и её первообразную рассматривают отдельно на промежутках, не содержащих ноль. Если в задаче указано значение в точке, из семейства выбирают один вариант.

Линейность позволяет находить первообразную суммы и выносить постоянный множитель: достаточно применить эти правила к слагаемым отдельно. Причина та же, что и при дифференцировании: производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель сохраняется. Поэтому, если f(x) = af₁(x) + bf₂(x), можно найти первообразные f₁ и f₂, умножить их на a и b и сложить. В конце к полученному выражению добавляют одну общую постоянную C.

Основные формулы первообразных получают из таблицы производных, проверяя каждое соответствие дифференцированием. Например, производная ln|x| равна 1/x при x ≠ 0, а производная −cos x равна sin x. Ограничения в формулах указывают, где выражения определены и применимы. Если формула не подходит, например при степени −1, нужно обратиться к отдельной строке таблицы.

Основные формулы первообразных

Чтобы воспользоваться таблицей, найдите строку с заданной функцией и запишите соответствующую первообразную, не забывая C. Если в функции есть коэффициент или несколько слагаемых, примените линейность: коэффициент сохраните, а слагаемые обработайте по отдельности. Затем проверьте ответ дифференцированием и убедитесь, что учли ограничение в нужной строке.

Разбор задач

Задача: найти все первообразные функции f(x) = 6x². Выражение имеет вид степенной функции, поэтому подойдёт формула для xⁿ при n = 2. Нужно учесть коэффициент 6 и получить всё семейство, а не одну функцию. После вычисления полезно проверить результат производной.

1. По таблице первообразная x² — x³/3 + C, поскольку степень увеличивается на единицу, а результат делится на новую степень.
2. Сохраняем коэффициент: для 6x² получаем 6 · x³/3 + C.
3. Упрощаем выражение: 6 · x³/3 = 2x³. Проверяем: (2x³ + C)′ = 6x².

Ответ: F(x) = 2x³ + C, где C — любое число. Проверка показывает, что производная совпадает с заданной функцией. Следовательно, получено всё семейство первообразных.

Задача: найти все первообразные функции f(x) = 3eˣ − 2sin x. Здесь есть сумма двух слагаемых, поэтому применяем линейность, не теряя коэффициенты. Каждую часть можно сопоставить с отдельной строкой таблицы. Затем складываем результаты и проверяем знаки при дифференцировании.

1. Для первого слагаемого используем первообразную eˣ: получаем 3eˣ.
2. Для sin x первообразная равна −cos x. Значит, для второго слагаемого −2sin x получаем −2 · (−cos x) = 2cos x.
3. Складываем найденные выражения и добавляем постоянную: F(x) = 3eˣ + 2cos x + C.
4. Проверяем: производная равна 3eˣ − 2sin x, поскольку (cos x)′ = −sin x.

Ответ: F(x) = 3eˣ + 2cos x + C. Двойной минус во втором слагаемом возникает из-за того, что первообразная sin x содержит знак минус. Проверка помогает убедиться, что этот знак учтён правильно.

Задача: найти первообразную функции f(x) = 2x + cos x, если её график проходит через точку (0; 4). Сначала найдём семейство первообразных, а затем воспользуемся условием о точке. Координаты означают, что при x = 0 значение искомой функции равно 4. Это условие позволяет определить постоянную C.

1. Для 2x первообразная равна x², а для cos x — sin x. Поэтому F(x) = x² + sin x + C.
2. Подставляем координаты точки: F(0) = 0² + sin 0 + C = 4.
3. Так как sin 0 = 0, получаем C = 4. Подставляем его в семейство первообразных.
4. Проверяем результат: (x² + sin x + 4)′ = 2x + cos x, а при x = 0 функция действительно равна 4.

Ответ: F(x) = x² + sin x + 4. Значение функции в точке выбрало одну первообразную из семейства. Если бы условие о точке отсутствовало, следовало бы оставить произвольную C.

Типичные ошибки

Забывают C и записывают только одну первообразную. Так происходит, когда результат воспринимают как единственный, хотя добавление любого числа не меняет производную. Чтобы проверить полноту ответа, убедитесь, что к выражению приписана произвольная постоянная, если дополнительное условие не задаёт её значение.

Путают знаки в формулах: например, записывают cos x как первообразную sin x. Ошибка возникает из-за того, что производная cos x равна −sin x, а знак при переходе к первообразной нужно учитывать. Продifferенцируйте ответ: если знак не совпадает с исходной функцией, формулу применили неверно.

Для xⁿ применяют формулу xⁿ⁺¹/(n + 1) при n = −1, хотя знаменатель тогда обращается в ноль. Это исключение легко пропустить, если пользоваться степенной формулой механически. Сначала проверьте условие n ≠ −1; при n = −1 используйте первообразную ln|x| + C для 1/x.

При интегрировании суммы пропускают слагаемое или неверно переносят множитель. Обычно это случается, когда несколько действий выполняют в уме и не записывают отдельные первообразные. Решайте по слагаемым, сохраните коэффициенты и продифференцируйте итог: так можно заметить пропуск или неправильный знак.

Связь с другими темами

Для поиска первообразных нужно знать производную функции, таблицу производных и правила дифференцирования суммы и произведения на постоянное число. Формулы первообразных получают, обращая эти правила, а правильность результата проверяют обычным дифференцированием. Поэтому уверенное владение производными помогает не только быстрее решать задачи, но и находить ошибки.

Первообразная понадобится при изучении определённого интеграла и вычислении площадей. Чтобы определить площадь, используют интегральные методы, связанные с поиском первообразной и значениями функции на границах промежутка. Таким образом, освоенные здесь формулы становятся основой для дальнейших вычислений.

Что запомнить

• F — первообразная f, если F′(x) = f(x).
• Первообразные одной функции на промежутке отличаются на постоянную.
• Неопределённый интеграл включает произвольную постоянную C.
• Первообразную можно проверить дифференцированием.
• Первообразную суммы находят по слагаемым, сохраняя их коэффициенты.