3. Непосредственное интегрирование

Определения и обозначения

Функция F называется первообразной функции f на промежутке, если F′(x) = f(x) для каждого x из этого промежутка. Иными словами, производная F возвращает исходную функцию f. Это определение превращает интегрирование в обратную задачу к дифференцированию: по известной производной нужно восстановить функцию.

Неопределённый интеграл ∫f(x) dx обозначает множество всех первообразных функции f и записывается как F(x) + C, где F′(x) = f(x), а C — произвольная постоянная. Знак ∫ называют знаком интеграла, f(x) — подынтегральной функцией, а dx указывает переменную интегрирования. Такая запись нужна, чтобы обозначить не один ответ, а целое семейство функций.

Постоянная интегрирования C появляется потому, что производная любой постоянной равна нулю: F(x) и F(x) + C имеют одинаковые производные. Более того, на одном промежутке любые две первообразные одной функции отличаются только на константу. Поэтому без C запись не охватывала бы все возможные первообразные.

Непосредственное интегрирование — нахождение неопределённого интеграла по известным формулам первообразных и свойствам интеграла. Оно подходит, когда выражение можно сразу представить как сумму знакомых функций с постоянными множителями. Этот способ не требует дополнительной замены переменной или другого преобразования.

Как это устроено

Интегрирование связано с дифференцированием как обратная операция: ищут такую функцию, производная которой равна подынтегральной. Например, если предполагаемый ответ содержит x⁴, его производная будет 4x³, поэтому первообразная для 4x³ — x⁴. Такая связь даёт простой способ проверки: производная ответа должна в точности восстановить исходное выражение.

Формулы интегрирования получают из таблицы производных, меняя направление рассуждения. Если известно, что F′(x) = f(x), то по определению F является первообразной f, а значит, ∫f(x) dx = F(x) + C. Например, из равенства (sin x)′ = cos x следует ∫cos x dx = sin x + C. Постоянная необходима, поскольку дифференцирование не позволяет определить, какое именно постоянное слагаемое было у исходной функции.

Интеграл линейно зависит от подынтегрального выражения: ∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx, а ∫k f(x) dx = k∫f(x) dx для постоянного k. Эти свойства следуют из правил дифференцирования суммы и произведения функции на постоянный множитель. Благодаря им сложное выражение можно разбить на простые части, для которых уже есть формулы.

Для степенных, показательных и тригонометрических функций выбирают соответствующую строку таблицы. У формулы ∫xⁿ dx есть условие n ≠ −1, а интегралы от 1/x, 1/cos²x и 1/sin²x рассматривают только там, где подынтегральная функция определена. Область важна и для первообразной: при исключённых точках её рассматривают на промежутках, не пересекающих эти точки. Например, формула для 1/x действует отдельно при x > 0 и при x < 0.

Вычисление удобно вести в одном порядке: сначала раскрыть скобки или разложить выражение на слагаемые, затем вынести постоянные множители и применить табличные формулы. После этого нужно записать одну общую постоянную C, а не отдельную для каждого слагаемого. В конце продифференцируй ответ и проверь, что получилась исходная функция на нужном промежутке.

Основные формулы непосредственного интегрирования

В таблице указана одна первообразная, поэтому при записи неопределённого интеграла к ней нужно прибавить C. Сначала проверь, подходит ли аргумент под формулу и выполнено ли указанное условие. Затем можно использовать линейность, чтобы вынести коэффициенты и разобрать сумму на слагаемые.

Разбор задач

Задача 1. Найти ∫(4x³ − 2x) dx. Выражение состоит из двух степенных слагаемых, поэтому применим линейность и отдельно проинтегрируем каждое из них. Коэффициенты 4 и −2 оставим перед интегралами.

1. Разделим интеграл: ∫(4x³ − 2x) dx = 4∫x³ dx − 2∫x dx.
2. По степенной формуле получим ∫x³ dx = x⁴/4 и ∫x dx = x²/2.
3. Умножим на коэффициенты: 4 · x⁴/4 − 2 · x²/2 = x⁴ − x².
4. Прибавим общую постоянную интегрирования: x⁴ − x² + C.

Ответ: x⁴ − x² + C. Здесь каждое слагаемое легко проверить отдельно, но итоговая проверка должна охватывать всю первообразную. Производная результата равна 4x³ − 2x, то есть исходному выражению.

Задача 2. Найти ∫(3eˣ + 2cos x − 1/x) dx на промежутке x > 0. Сумму можно интегрировать по слагаемым, а коэффициенты 3 и 2 вынести за знак интеграла. Для последнего слагаемого используем формулу для 1/x; условие x > 0 гарантирует, что ноль не входит в рассматриваемый промежуток.

1. Запишем разложение: 3∫eˣ dx + 2∫cos x dx − ∫1/x dx.
2. Применим формулы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫cos x dx = sin x, ∫1/x dx = ln|x|.
3. Так как x > 0, |x| = x, поэтому ln|x| можно записать как ln x.
4. Объединим слагаемые и добавим одну постоянную: 3eˣ + 2sin x − ln x + C.

Ответ: 3eˣ + 2sin x − ln x + C при x > 0. Область задана не формально: она помогает выбрать запись логарифма и не допустить точку, где 1/x не определена. При дифференцировании получаем 3eˣ + 2cos x − 1/x.

Задача 3. Найти ∫(5x⁴ − 3sin x + 2/cos²x) dx и проверить ответ. Здесь одновременно применяются степенная и тригонометрические формулы, поэтому сначала разделим выражение на три слагаемых. Последнее слагаемое не определено при cos x = 0, и результат рассматривается на промежутках, где cos x ≠ 0.

1. Разложим интеграл: 5∫x⁴ dx − 3∫sin x dx + 2∫1/cos²x dx.
2. Используем формулы: ∫x⁴ dx = x⁵/5, ∫sin x dx = −cos x, ∫1/cos²x dx = tg x.
3. Учтём коэффициенты и знаки: 5 · x⁵/5 − 3 · (−cos x) + 2tg x.
4. Запишем первообразную: x⁵ + 3cos x + 2tg x + C.
5. Проверим: производная равна 5x⁴ − 3sin x + 2/cos²x.

Ответ: x⁵ + 3cos x + 2tg x + C, где cos x ≠ 0. При проверке особенно важно сохранить знак перед производной 3cos x: она равна −3sin x. Это подтверждает, что знак при интегрировании −3sin x выбран верно.

Типичные ошибки

Если не записать + C, ответ покажет только одну первообразную, а не всё множество. Так происходит, когда забывают, что константу нельзя восстановить по производной: она исчезает при дифференцировании. Проверь себя, прибавив к найденной функции любое число и убедившись, что производная не изменится.

При интегрировании sin x и cos x легко перепутать знаки: ∫sin x dx = −cos x + C, а ∫cos x dx = sin x + C. Ошибка возникает из-за того, что производная −cos x равна sin x, тогда как производная cos x равна −sin x. Самая надёжная проверка — продифференцировать каждый полученный тригонометрический член.

Формулу ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C нельзя применять при n = −1: тогда знаменатель обращается в ноль. Этот показатель соответствует функции x⁻¹ = 1/x, для которой первообразная — ln|x| + C. Перед применением степенной формулы проверь условие n ≠ −1 и при необходимости вынеси случай 1/x отдельно.

Иногда при интегрировании 1/x забывают, что выражение не определено при x = 0, или записывают первообразную на промежутке, пересекающем ноль. Причина ошибки — использование табличной формулы без проверки области определения. Убедись, что рассматриваемый промежуток целиком лежит либо при x > 0, либо при x < 0, и только затем применяй ln|x|.

Связь с другими темами

Для непосредственного интегрирования нужны таблица производных и правило производной суммы: именно они объясняют формулы первообразных и позволяют проверить ответ. Также пригодятся навыки преобразования выражений — разложения суммы и вынесения постоянного множителя. Поэтому перед вычислением полезно привести подынтегральное выражение к удобному виду.

Непосредственное интегрирование используется дальше при вычислении определённых интегралов: сначала находят первообразную, затем применяют её значения на границах отрезка. Оно помогает и в задачах на восстановление функции по её производной. В таких задачах постоянную C можно определить, если дополнительно задано значение искомой функции в некоторой точке.

Что запомнить

• Первообразная F функции f удовлетворяет равенству F′(x) = f(x).
• Неопределённый интеграл включает все первообразные: ∫f(x) dx = F(x) + C.
• Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
• Интеграл суммы равен сумме интегралов.
• Формулы интегрирования связаны с формулами дифференцирования.
• Формула для xⁿ требует условия n ≠ −1.
• Правильность найденной первообразной можно проверить производной.