4. Замена переменной

Определения и обозначения

Замена переменной — приём, при котором выражение с исходной переменной обозначают новой, чтобы упростить уравнение или неравенство. Например, вместо повторяющегося x² можно ввести букву t. Это нужно, чтобы увидеть знакомую структуру и решать более простую задачу.

Вспомогательная переменная — новая переменная, которой обозначают повторяющееся или сложное выражение; при этом указывают, как она связана с исходной переменной. Запись t = x² или t = x² + 1 сохраняет эту связь на протяжении решения. Без неё нельзя вернуться от найденного t к значениям x.

Обратная замена — восстановление исходной переменной после решения задачи относительно новой переменной. Если найдено t = 4 и было задано t = x², нужно решить x² = 4. Этот шаг необходим, потому что ответ исходной задачи обычно записывают через исходную переменную.

Допустимые значения новой переменной — значения, которые она может принимать с учётом исходного выражения и ограничений задачи. Например, если t = x², то t ≥ 0, а если t = x² + 1, то t ≥ 1. Эти условия не дают принять за ответ числа, которым не соответствует ни одно допустимое значение исходной переменной.

Как это устроено

Сначала нужно заметить выражение, которое можно обозначить новой переменной. Обычно оно повторяется несколько раз, имеет удобную структуру или входит в задачу так, что после замены получается знакомый тип уравнения. Например, сочетание x⁴ и x² подсказывает замену t = x²: тогда x⁴ превращается в t², а уравнение становится квадратным относительно t.

После выбора замены запиши её отдельным равенством, например t = x² + 1, и подставь t во все подходящие места. Это упрощает запись, потому что вместо длинного выражения остаётся одна буква, а одинаковые части уравнения становятся заметнее. Само по себе новое обозначение не меняет исходную задачу: равенство между старой и новой переменными позволяет восстановить её условия.

Затем установи, какие значения может принимать новая переменная. Ограничение следует из определения замены: квадрат неотрицателен, поэтому при t = x² имеем t ≥ 0; сумма x² + 1 не меньше единицы, поэтому при t = x² + 1 имеем t ≥ 1. Такие условия сохраняют и при решении: корень преобразованного уравнения, не удовлетворяющий им, не может соответствовать исходному выражению.

Дальше реши уравнение или неравенство относительно новой переменной, отсеки значения, запрещённые её ограничениями, и сделай обратную замену. Например, при t = x² каждое оставшееся положительное значение t требует решения уравнения x² = t. Именно на этом шаге из одного значения t могут получиться два значения x, поэтому нельзя просто переписать ответ новой задачи как ответ исходной.

Наконец, проверь полученные значения в исходном условии, а не только в упрощённом уравнении. При преобразованиях могли появиться лишние кандидаты, а исходная задача могла содержать знаменатель или другое ограничение на x. Проверка также помогает обнаружить потерю одного из корней при обратной замене. В ответ включают только числа, которые удовлетворяют исходной задаче.

Этапы решения задачи с заменой переменной

Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу, только когда записал нужные сведения для предыдущего. Особенно важно не пропускать ограничения и обратную замену. В конце сверяй найденные значения с исходным условием.

Разбор задач

1. Уравнение x⁴ − 5x² + 4 = 0

Степени x⁴ и x² связаны: x⁴ = (x²)². Поэтому обозначение t = x² превратит уравнение в квадратное, а ограничение t ≥ 0 позволит отсеять невозможные значения новой переменной.

1. Положим t = x². Тогда x⁴ = t², и получим t² − 5t + 4 = 0.
2. Разложим на множители: (t − 1)(t − 4) = 0. Отсюда t = 1 или t = 4; оба значения удовлетворяют условию t ≥ 0.
3. Вернёмся к x: при t = 1 имеем x² = 1, откуда x = ±1; при t = 4 имеем x² = 4, откуда x = ±2.

Проверка показывает, что все четыре значения обращают исходный многочлен в ноль. Ответ: x = −2, −1, 1, 2.

2. Уравнение (x² + 1)² − 3(x² + 1) + 2 = 0

Выражение x² + 1 повторяется целиком, поэтому заменять только x² здесь менее удобно. Обозначим повторяющуюся часть через t; так уравнение станет квадратным, а условие t ≥ 1 поможет учесть связь новой переменной с x.

1. Положим t = x² + 1. Поскольку x² ≥ 0, допустимы только t ≥ 1.
2. Подставим t в уравнение: t² − 3t + 2 = 0. Разложение (t − 1)(t − 2) = 0 даёт t = 1 или t = 2; оба значения допустимы.
3. При t = 1 получаем x² + 1 = 1, то есть x = 0. При t = 2 получаем x² + 1 = 2, поэтому x = ±1.

Подстановка x = 0 и x = ±1 в исходное уравнение подтверждает равенство нулю. Ответ: x = −1, 0, 1.

3. Уравнение x² + 1/x² = 7, x ≠ 0

Здесь удобно ввести t = x + 1/x: при возведении этой суммы в квадрат получаем именно x² и 1/x², а также постоянное слагаемое. Новая переменная не может принимать значения между −2 и 2, поэтому её ограничения понадобятся при отборе корней.

1. Положим t = x + 1/x. Тогда t² = x² + 2 + 1/x², а исходное уравнение равносильно t² − 2 = 7, то есть t² = 9.
2. Получаем t = 3 или t = −3. Оба значения допустимы, так как для ненулевого действительного x выражение x + 1/x принимает значения не меньше 2 или не больше −2.
3. При t = 3 решаем x + 1/x = 3. Умножив на x ≠ 0, получаем x² − 3x + 1 = 0, откуда x = (3 ± √5)/2.
4. При t = −3 имеем x + 1/x = −3, или x² + 3x + 1 = 0. Отсюда x = (−3 ± √5)/2.

Все найденные числа ненулевые и удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: x = (3 + √5)/2, (3 − √5)/2, (−3 + √5)/2, (−3 − √5)/2.

Типичные ошибки

Забывают записать ограничения на новую переменную и решают преобразованное уравнение для всех чисел. Так происходит, если воспринимать замену как простое переименование, хотя переменная зависит от исходного выражения. Проверь себя: выпиши, например, t ≥ 0 для t = x², и сравни с каждым найденным корнем.

После решения относительно новой переменной не выполняют обратную замену или выполняют её неверно. Часто ученик принимает значения t за ответы, хотя исходное уравнение содержит x. Сверь финальный ответ с записью замены и реши уравнение, которое связывает каждое найденное t с x.

При обратной замене теряют часть решений, например забывают один из знаков при x² = a. Ошибка возникает, когда квадратный корень извлекают без учёта обоих возможных значений исходного числа. Для проверки подставь в уравнение x² = a и убедись, что учтены и √a, и −√a, если a > 0.

Все значения после обратной замены иногда принимают за корни исходного уравнения, не учитывая его ограничения. Например, найденный кандидат может обнулять знаменатель, хотя в исходной задаче это запрещено. Подставь каждый ответ в исходное условие и отдельно проверь область допустимых значений.

Связь с другими темами

Для замены нужно уметь решать линейные и квадратные уравнения, находить область допустимых значений и выполнять равносильные преобразования. Приём помогает в уравнениях и неравенствах с повторяющимися выражениями, степенями, дробями и тригонометрическими функциями. Он также связан с введением параметров и вспомогательных величин: в более сложных задачах дополнительная переменная позволяет выделить структуру и разделить решение на понятные шаги.

Что запомнить

• Замена должна упрощать задачу, а не только менять обозначения.
• Всегда записывай, чему равна новая переменная.
• До решения установи допустимые значения новой переменной.
• Реши задачу относительно новой переменной.
• Обязательно выполни обратную замену.
• Проверь найденные ответы в исходной задаче.