§ 1. Первообразная

Определения и обозначения

Функция F называется первообразной функции f на промежутке, если F′(x) = f(x) во всех точках этого промежутка. Например, x² — первообразная функции 2x, потому что производная x² равна 2x. Это определение позволяет проверить кандидат в первообразные простым дифференцированием.

Если F — первообразная для f, то для любого числа C функция F(x) + C также является первообразной. Действительно, (F(x) + C)′ = F′(x) + 0 = f(x). Все функции такого вида образуют семейство первообразных, то есть набор функций с одной и той же производной.

Число C называют постоянной интегрирования: оно показывает, что конкретное значение функции не определяется одной лишь производной. Её нельзя опускать, когда требуется записать общий вид первообразных, иначе останется только одна функция из целого семейства. Если же задано дополнительное условие, например значение функции в определённой точке, по нему можно найти C.

Как это устроено

Дифференцирование по заданной функции строит новую функцию, а поиск первообразной решает обратную задачу: по результату дифференцирования нужно восстановить функцию. Это похоже на попытку восстановить исходное число по его изменению, но точного ответа не будет, пока не известно начальное значение. Поэтому задача обычно имеет не один ответ, а целое семейство функций.

Прибавление константы не меняет производную, потому что график функции лишь сдвигается вверх или вниз, а его наклон в каждой точке остаётся прежним. Наклон графика описывает производная, поэтому у всех таких сдвигов она одинакова. Так объясняется появление произвольного C в общем ответе.

Никаких других различий между двумя первообразными одной функции на промежутке быть не может. Если F и G — первообразные f, то производная их разности равна F′(x) − G′(x) = f(x) − f(x) = 0. Функция, производная которой равна нулю на промежутке, постоянна на нём, значит, F(x) − G(x) = C.

Основные формулы для степенных, показательных и тригонометрических функций получают из правил дифференцирования в обратном направлении. Например, поскольку (xⁿ⁺¹)′ = (n + 1)xⁿ, для xⁿ подбирают xⁿ⁺¹ и делят его на n + 1. Для eˣ производная совпадает с самой функцией, а формулы для sin x и cos x следуют из производных тригонометрических функций; случай 1/x рассматривают отдельно.

Линейность позволяет не искать первообразную сложного выражения целиком. Производная суммы равна сумме производных, поэтому первообразную суммы можно составить из первообразных слагаемых; постоянный множитель при этом выносят за скобки. После применения правил результат проверяют производной, чтобы убедиться, что получено исходное выражение.

Основные функции и их первообразные

Выбирайте строку по выражению f(x), а затем проверяйте область, на которой рассматривается функция. В степенной формуле показатель n не должен равняться −1: для 1/x нужна отдельная формула с ln|x|. В любой строке общий ответ включает постоянную C.

Разбор задач

Задача 1. Найти все первообразные функции f(x) = 3x². Узнаём степенную функцию и применяем формулу для xⁿ, где n = 2. После нахождения результата дифференцируем его, чтобы убедиться, что коэффициент восстановлен правильно.

1. Увеличиваем показатель степени на единицу: x² становится x³.
2. Делим на новый показатель и учитываем множитель 3: 3 · x³/3 = x³.
3. Добавляем произвольную постоянную C, поскольку она не влияет на производную.

Ответ: F(x) = x³ + C. Проверка: (x³ + C)′ = 3x².

Задача 2. Найти первообразную функции f(x) = 2cos x − 3eˣ. Здесь выражение состоит из двух слагаемых, поэтому используем линейность и подбираем первообразную для каждого по отдельности. Знаки и множители сохраняем, а после сложения добавляем одну общую константу.

1. Для 2cos x первообразная равна 2sin x, так как (sin x)′ = cos x.
2. Для −3eˣ первообразная равна −3eˣ, поскольку производная eˣ совпадает с eˣ.
3. Объединяем слагаемые и записываем постоянную интегрирования.

Ответ: F(x) = 2sin x − 3eˣ + C. Проверка даёт F′(x) = 2cos x − 3eˣ.

Задача 3. Найти первообразную f(x) = 1/x² на промежутке (0; +∞), если график проходит через точку (1; 2). Перепишем дробь как степень x⁻² и сначала найдём общее семейство. Затем подставим координаты заданной точки, чтобы выбрать из семейства одну функцию.

1. По степенной формуле получаем F(x) = x⁻¹/(−1) + C = −1/x + C.
2. График проходит через (1; 2), значит, F(1) = 2: −1 + C = 2.
3. Отсюда C = 3; подставляем это значение в общее выражение.

Ответ: F(x) = −1/x + 3. Проверка: F′(x) = 1/x², а F(1) = 2.

Типичные ошибки

Записывают одну первообразную и забывают + C, потому что воспринимают ответ как единственную функцию. Но прибавление любого числа не изменяет производную, поэтому общий ответ должен описывать всё семейство. Проверьте, требуется ли в задаче общее решение; если да, добавьте C.

Формулу xⁿ⁺¹/(n + 1) иногда применяют при n = −1, не замечая деления на ноль. В этом случае исходная функция — 1/x, и для неё первообразная равна ln|x| + C. Подставьте показатель в знаменатель формулы: если он стал нулём, используйте отдельный случай.

Для sin x могут ошибочно записать cos x, забыв о знаке. Такая ошибка возникает, если вспоминать формулы без проверки производной. Дифференцируйте ответ: (−cos x)′ = sin x, а cos x даёт −sin x.

Иногда считают, что первообразные одной функции могут отличаться любой функцией. Однако производная их разности равна нулю, а значит, разность постоянна на промежутке. Для самопроверки вычтите две предполагаемые первообразные и убедитесь, что их разность не зависит от x.

Связь с другими темами

Чтобы находить первообразные, нужно знать определение производной и уметь дифференцировать основные функции. Именно обратное применение правил дифференцирования приводит к формулам для степенной, показательной и тригонометрической функций. Проверка ответа также опирается на умение находить производную.

Первообразные служат основой для изучения неопределённого и определённого интегралов. С их помощью позднее вычисляют площади фигур и решают другие задачи, связанные с накоплением величин. Поэтому понимание постоянной интегрирования и способов проверки пригодится в следующих темах.

Что запомнить

• F — первообразная для f, если F′(x) = f(x).
• Если F — первообразная, то F + C — тоже первообразная.
• Все первообразные одной функции на промежутке отличаются на константу.
• В общем ответе обязательно указывают постоянную интегрирования C.
• Результат поиска первообразной можно проверить дифференцированием.