§ 48. Первообразная

Определения и обозначения

Первообразная функции f на промежутке — это функция F, производная которой на всём этом промежутке равна f: F′(x) = f(x). Иными словами, если продифференцировать F, получится исходная функция f. Это определение позволяет проверять ответ и показывает, какую именно обратную задачу мы решаем.

Семейство первообразных — это набор всех функций вида F(x) + C, где F — одна первообразная заданной функции, а C — любое число. Например, если F(x) = x²/2, то функции x²/2 + 1 и x²/2 − 5 также принадлежат этому семейству. Такое обозначение нужно, чтобы не потерять ни одного возможного ответа.

Постоянная интегрирования — произвольное число C, которое прибавляют к первообразной. Так называют эту постоянную потому, что она появляется при нахождении первообразных, а её производная равна нулю. Поэтому значение C не влияет на условие F′(x) = f(x), но может определяться дополнительным условием, например заданной точкой графика.

Как это устроено

Нахождение первообразной — задача, обратная дифференцированию. При дифференцировании по функции узнают скорость её изменения, а здесь по такой скорости ищут исходную функцию. Поэтому полезно рассуждать от таблицы производных в обратном направлении: подбирать выражение, производная которого совпадёт с заданной функцией.

Если F′(x) = f(x), то (F(x) + C)′ = F′(x) + C′ = f(x), потому что C′ = 0. Значит, прибавление постоянной не меняет производную, и одна найденная первообразная сразу даёт целое семейство. При этом на промежутке любые две первообразные одной функции отличаются только на постоянную: у разности этих функций производная равна нулю, а функция с нулевой производной постоянна.

Из правил дифференцирования следуют правила для первообразных. Если функция умножена на число, это число можно вынести: производная от kF равна kF′. Если задана сумма, первообразную можно искать отдельно для каждого слагаемого и затем сложить результаты, поскольку производная суммы равна сумме производных. После этого к итоговому выражению добавляют одну произвольную постоянную.

Степенные и тригонометрические формулы удобно получать, вспоминая соответствующие производные. Например, производная xⁿ⁺¹/(n + 1) равна xⁿ, если n ≠ −1; производная −cos x равна sin x. Случай n = −1 не подходит под степенную формулу, потому что деление на n + 1 стало бы делением на ноль. Для него используют отдельную формулу: производная ln|x| равна 1/x при x ≠ 0.

Проверка дифференцированием объясняет, почему таблице можно доверять и помогает заметить ошибки в знаке или коэффициенте. Например, если предполагается, что первообразная sin x — −cos x, нужно взять производную от −cos x и получить sin x. Проверять следует не только вычисления, но и то, что формула определена на всём указанном промежутке.

Как читать график: для F(x) = x²/2 её производная f(x) = x. Наклон касательной к графику F в точке x совпадает со значением f(x).

Основные функции и их первообразные

В таблице указана одна первообразная, поэтому для записи всех решений к результату нужно прибавить C. Сначала найди строку, соответствующую заданной функции, затем проверь, что условие в третьем столбце соблюдается на всём промежутке. Для суммы или выражения с множителем применяй таблицу к слагаемым по отдельности.

Разбор задач

Задача 1. Найти все первообразные функции f(x) = 3x² на промежутке ℝ.

1. Сопоставим 3x² со степенной формулой: первообразная x² равна x³/3.
2. Учитываем множитель 3: получаем 3 · x³/3 = x³.
3. Записываем все первообразные, добавив произвольную постоянную C.

Ответ: F(x) = x³ + C, C ∈ ℝ.

Задача 2. Найти первообразную f(x) = 2cos x − 4x на ℝ, график которой проходит через точку (0; 3).

1. Ищем первообразную каждого слагаемого: для 2cos x получаем 2sin x, для −4x — −2x².
2. Записываем общее семейство F(x) = 2sin x − 2x² + C.
3. Подставляем координаты точки: F(0) = 3. Так как sin 0 = 0, получаем C = 3.

Ответ: F(x) = 2sin x − 2x² + 3.

Задача 3. Найти первообразную f(x) = 1/x² + 2sin x на (0; +∞), график которой проходит через точку (1; 0).

1. Перепишем 1/x² как x⁻². По степенной формуле его первообразная равна x⁻¹/(−1) = −1/x.
2. Первообразная 2sin x равна −2cos x. Значит, общее семейство имеет вид F(x) = −1/x − 2cos x + C.
3. Подставим точку (1; 0): 0 = −1 − 2 + C, откуда C = 3. Выражение определено на всём промежутке x > 0.

Ответ: F(x) = −1/x − 2cos x + 3.

Типичные ошибки

Первая ошибка — записать только одну первообразную, хотя требуется найти все. Так происходит, когда забывают, что производная не меняется при прибавлении числа. Проверь формулировку задания и добавь + C; если дано дополнительное условие, найди значение C по нему.

Вторая ошибка — считать, что первообразная sin x равна cos x. При дифференцировании cos x получается −sin x, поэтому нужен знак минус: производная −cos x равна sin x. Проверка производной быстро обнаруживает перепутанный знак.

Третья ошибка — подставлять n = −1 в формулу xⁿ⁺¹/(n + 1). Тогда знаменатель становится нулём, поэтому этот случай из формулы исключён; для 1/x используют ln|x|. Перед применением степенного правила проверь показатель степени и отдельно разберись с x⁻¹.

Четвёртая ошибка — не учитывать промежуток, на котором задана функция. Например, 1/x и ln|x| не определены при x = 0, поэтому нельзя считать их формулами на промежутке, содержащем ноль. Сверь область определения исходной функции с указанным промежутком и проверь, что найденное выражение корректно на нём целиком.

Связь с другими темами

Для нахождения первообразных нужны определение производной, таблица производных и правила дифференцирования. Именно обратное применение этих знаний помогает получать формулы, а проверка ответа снова опирается на дифференцирование. Поэтому уверенное владение производной делает новую тему понятнее и позволяет самостоятельно контролировать вычисления.

Первообразная станет основой для изучения определённого интеграла. С помощью интеграла можно вычислять площади фигур, ограниченных графиками функций, и решать другие задачи о накоплении величины. Таким образом, умение находить первообразные готовит к следующему важному шагу математического анализа.

Что запомнить

• F — первообразная f, если F′(x) = f(x) на заданном промежутке.
• Если F — первообразная f, то F + C тоже первообразная.
• Все первообразные одной функции на промежутке отличаются на постоянную.
• Постоянная C произвольна, пока не задано дополнительное условие.
• Найденную первообразную можно проверить дифференцированием.
• Для f(x) = 1/x первообразная — ln|x|.