"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Определённый интеграл помогает вычислять накопленное изменение величины и площадь под графиком функции. Его записывают как ∫ₐᵇ f(x) dx: функция f задаёт подынтегральное выражение, а числа a и b — границы промежутка. Если известна первообразная F, интеграл равен разности F(b) − F(a). Знак интеграла зависит от значений функции и порядка пределов, а его свойства позволяют разбивать промежуток и упрощать вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Определённый интеграл функции f на промежутке от a до b обозначают ∫ₐᵇ f(x) dx. Если у f есть первообразная F, его значение находят по формуле F(b) − F(a). Такая запись превращает задачу о накоплении значений функции на промежутке в вычисление разности двух чисел.
Функция f(x) под знаком интеграла называется подынтегральной функцией. Именно её значения на промежутке определяют величину и знак интеграла. Переменная x здесь служит для описания функции внутри промежутка, а не обозначает отдельное число, которое нужно подставить заранее.
Числа a и b — пределы интегрирования: a называют нижним пределом, b — верхним. Они задают промежуток [a; b], на котором рассматривают функцию. Пределы указывают, откуда и докуда суммируется вклад функции, поэтому при их изменении может измениться значение интеграла.
Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции, осью Ox и прямыми x = a и x = b. Её площадь равна ∫ₐᵇ f(x) dx, если f(x) ≥ 0 на всём промежутке. Такое описание связывает вычисление интеграла с измерением площади под графиком.
Первообразная связывает значения функции с её накопленным изменением. Если F′(x) = f(x), то изменение F при переходе от a к b складывается из вкладов f на всём промежутке. Поэтому определённый интеграл можно вычислить как F(b) − F(a): это и есть формула Ньютона — Лейбница. Константа в первообразной не влияет на разность, ведь при вычитании она сокращается.
Геометрический смысл особенно нагляден, когда f(x) неотрицательна. На каждом небольшом участке график образует с осью Ox узкую полоску, и сумма площадей таких полос приближает площадь всей фигуры. При уменьшении ширины полос приближение становится точнее, а его пределом является определённый интеграл. Поэтому в этом случае интеграл равен площади криволинейной трапеции.
Если поменять пределы местами, направление суммирования меняется на противоположное. Вклады, которые при движении от a к b считались в одном направлении, при движении от b к a получают обратный знак, поэтому ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx. Когда оба предела совпадают, промежуток не имеет длины и никакого изменения не накапливается: ∫ₐᵃ f(x) dx = 0.
Промежуток можно разделить на части, например точкой c между a и b. Вклады на отрезках [a; c] и [c; b] вместе дают вклад на всём [a; b], поэтому интеграл по большому промежутку равен сумме интегралов по частям. Это удобно, если выражение функции или её знак меняются в точке разделения. Важно сохранить порядок концов каждого отрезка.
Интеграл линейный, потому что суммирование сохраняет сложение и умножение на постоянное число. Поэтому интеграл суммы функций равен сумме их интегралов, а постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. Эти правила позволяют упростить подынтегральное выражение до применения формулы Ньютона — Лейбница. Например, сумму слагаемых можно интегрировать по отдельности, а затем сложить результаты.
График y = x² на отрезке [0; 2] расположен над осью Ox: площадь под ним соответствует интегралу функции на этом промежутке.
| Свойство | Формула | Условие |
|---|---|---|
| Интеграл по промежутку нулевой длины | ∫ₐᵃ f(x) dx = 0 | Пределы совпадают |
| Перестановка пределов | ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx | Пределы поменяли местами |
| Разбиение промежутка | ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫𝚌ᵇ f(x) dx | c лежит между a и b |
| Линейность относительно суммы | ∫ₐᵇ (f(x) + g(x)) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx | Интегрируемые функции заданы на одном промежутке |
| Вынос постоянного множителя | ∫ₐᵇ kf(x) dx = k∫ₐᵇ f(x) dx | k — постоянное число |
Перед вычислением выберите свойство, которое упрощает задачу: например, разложите сумму или вынесите постоянный множитель. При разбиении проверьте, что точка c находится внутри промежутка, а при перестановке пределов не потерян минус. Затем для оставшихся интегралов примените формулу Ньютона — Лейбница.
Задача 1. Вычислите ∫₀² 3x² dx.
Задача 2. Вычислите ∫₁³ (2x + 1) dx двумя способами.
Задача 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком y = 4 − x² и осью Ox на отрезке [0; 2].
Первая ошибка — подставить пределы в первообразную в обратном порядке и получить F(a) − F(b). Так происходит, когда запоминают только необходимость подставить концы, но забывают направление разности. Проверяйте запись перед вычислением: сначала верхний предел b, затем минус и нижний a.
Нельзя считать, что интеграл всегда равен обычной площади между графиком и осью Ox. Если функция опускается ниже оси, эта часть даёт отрицательный вклад, и интеграл может не совпасть с площадью всей фигуры. Проверьте знак функции на промежутке; при смене знака разделите его в точке пересечения с осью и учитывайте площади отдельно.
При перестановке пределов некоторые забывают изменить знак. Это нарушает правило направления интегрирования и часто приводит к двум значениям одного интеграла с одинаковым знаком. Для проверки запишите равенство ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx и убедитесь, что минус стоит перед интегралом.
Ещё одна ошибка — применять формулу Ньютона — Лейбница, не найдя первообразную или неверно вычислив её. В результате даже правильная подстановка концов не даст нужного ответа. Сначала проверьте производную найденной F: должно выполняться F′(x) = f(x), а затем отдельно вычислите F(b) и F(a).
Для вычисления определённого интеграла нужны понятие первообразной и основные формулы интегрирования: без них не применить формулу Ньютона — Лейбница. Геометрический смысл опирается на умение читать графики функций и находить площадь фигуры. Позже интеграл используют для вычисления площадей, а также в задачах о накопленных величинах, например о пути по известной скорости.
Чем определённый интеграл отличается от неопределённого?
Неопределённый интеграл — это семейство первообразных функции, записываемое с постоянной C. Определённый интеграл — число, которое вычисляют на заданном промежутке по значениям первообразной на его концах.
Почему в формуле Ньютона — Лейбница из значения первообразной вычитают именно F(a) из F(b)?
Первообразная описывает накопленное изменение функции, поэтому на промежутке берут её конечное значение и вычитают начальное. Получается приращение F от a до b: F(b) − F(a).
Может ли определённый интеграл быть отрицательным?
Да. Если функция на промежутке расположена ниже оси Ox, её значения отрицательны и интеграл тоже будет отрицательным. При смене знака функции интеграл учитывает положительные и отрицательные части с разными знаками.
Почему интеграл с одинаковыми пределами равен нулю?
При a = b формула Ньютона — Лейбница даёт F(a) − F(a) = 0. Геометрически промежуток имеет нулевую длину, поэтому площадь под графиком на нём равна нулю.
Всегда ли определённый интеграл равен площади фигуры?
Не всегда: интеграл учитывает знак функции, поэтому участок под осью Ox вносит отрицательный вклад. Если функция неотрицательна на всём промежутке, интеграл равен площади криволинейной трапеции.
§ 49. Определенный интеграл
