§ 50. Статистическая обработка данных

Определения и обозначения

Вариационный ряд — данные, расположенные в порядке неубывания, то есть от меньшего значения к большему, включая повторы. Это представление сохраняет исходную выборку, но делает её состав более заметным. По такому ряду удобно находить крайние и центральные значения.

Частота значения — число его появлений в выборке, а относительная частота — доля появлений среди всех наблюдений. Если объём выборки равен n, а значение встретилось m раз, его относительная частота равна m/n. Её можно представить и в процентах, умножив долю на 100%.

Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями; он показывает длину промежутка, в котором лежат данные. Мода — значение, встречающееся чаще других, а медиана — середина упорядоченного ряда. Размах описывает крайние значения, мода и медиана помогают характеризовать типичное значение.

Среднее арифметическое — сумма всех наблюдений, делённая на их количество. Дисперсия — среднее квадратов отклонений наблюдений от среднего арифметического. Среднее описывает центр данных, а дисперсия — насколько значения в среднем разбросаны вокруг этого центра.

Как это устроено

Обработку начинают с упорядочивания наблюдений, потому что случайная последовательность чисел затрудняет их сравнение. Вариационный ряд сразу показывает первое и последнее значения, то есть минимум и максимум, а значит, помогает определить крайние точки выборки. Повторы тоже становятся заметнее: можно увидеть, какие результаты встречаются неоднократно. Кроме того, без упорядочивания нельзя надёжно определить медиану.

Если значения повторяются, каждое из них можно записать один раз и рядом указать его частоту. Такая таблица компактнее исходного списка, но сохраняет информацию о числе наблюдений каждого вида. Сумма частот должна равняться объёму выборки: иначе часть результатов потеряна или посчитана дважды. Относительная частота показывает не количество, а долю, поэтому сумма таких долей равна единице, или 100%.

Размах находят вычитанием минимума из максимума, потому что он измеряет расстояние между крайними наблюдениями. Мода отвечает на вопрос, какое значение встречается чаще других; при равенстве частот мод может быть несколько. Чтобы найти медиану, ряд сначала упорядочивают: тогда середина действительно делит число наблюдений на две равные части. При нечётном количестве берут центральный элемент, а при чётном — среднее двух центральных.

Среднее арифметическое получают, распределяя общую сумму наблюдений поровну между всеми результатами. Поэтому на него влияет каждое значение, в том числе очень большое или очень маленькое. В таблице частот повторять число несколько раз не нужно: достаточно умножить значение на частоту и сложить такие произведения. Полученную сумму делят на общий объём выборки.

Дисперсия описывает разброс относительно среднего: для каждого наблюдения находят отклонение от среднего, возводят его в квадрат и усредняют квадраты. Квадрат убирает знак отклонения, поэтому значения выше и ниже среднего не компенсируют друг друга. Чем больше дисперсия, тем сильнее в среднем разбросаны данные вокруг среднего. При сравнении выборок важно смотреть и на их средние: одинаковый разброс может иметь разный смысл при разных центрах.

Основные характеристики набора данных

При работе с таблицей сначала установите объём выборки: если даны частоты, сложите их. Затем выберите характеристику, которую требуется найти, и примените соответствующее правило. Проверка сумм частот и относительных частот помогает обнаружить ошибки в таблице.

Разбор задач

Задача 1. Для набора 4, 6, 6, 7, 9 составить вариационный ряд и найти размах, моду и медиану. Список уже расположен по неубыванию, но проверим это и отдельно вычислим каждую характеристику. Такой порядок действий не позволит перепутать крайние и центральные элементы.

1. Запишем числа от меньшего к большему: 4, 6, 6, 7, 9. Это и есть вариационный ряд; его первое значение равно 4, последнее — 9.

2. Размах равен 9 − 4 = 5. Число 6 встречается дважды, а остальные значения — по одному разу, поэтому мода равна 6.

3. В ряду пять элементов, значит, медиана — третий элемент. Это число 6, поэтому ответ: вариационный ряд 4, 6, 6, 7, 9; размах 5, мода 6, медиана 6.

Задача 2. В таблице указаны значения 1, 2 и 3 с частотами 2, 5 и 3. Найти объём выборки, относительные частоты и среднее арифметическое. Повторяющиеся наблюдения можно не выписывать, если учитывать их частоты в вычислениях.

1. Сложим частоты: n = 2 + 5 + 3 = 10. Значит, в выборке десять наблюдений; это число будет знаменателем для относительных частот и среднего.

2. Разделим каждую частоту на 10: для значения 1 получаем 2/10 = 0,2, для 2 — 5/10 = 0,5, для 3 — 3/10 = 0,3. Проверка: 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1.

3. Вычислим среднее с учётом повторов: (1 · 2 + 2 · 5 + 3 · 3)/10 = 21/10 = 2,1. Ответ: объём выборки 10, относительные частоты 0,2; 0,5; 0,3, среднее 2,1.

Задача 3. Для двух наборов данных с одинаковым средним требуется вычислить дисперсии и определить, где разброс сильнее. Поскольку средние равны, сравнение дисперсий будет прямым: более крупная дисперсия означает больший средний квадрат отклонения от общего центра.

1. Для каждого набора найдём среднее арифметическое и вычтем его из каждого наблюдения. Так получим отклонения, которые показывают, насколько отдельные результаты удалены от центра.

2. Возведём каждое отклонение в квадрат и сложим квадраты. Затем разделим сумму на число наблюдений в соответствующем наборе: это дисперсия, рассчитанная как среднее квадратов отклонений.

3. Сопоставим два полученных числа. У набора с большей дисперсией значения сильнее разбросаны относительно среднего; если дисперсии равны, по этому показателю разброс одинаков. Для численного ответа нужны конкретные данные наборов.

Типичные ошибки

Частоту иногда принимают за долю, а относительную частоту — за количество наблюдений. Это происходит потому, что оба показателя относятся к числу повторов, но выражаются по-разному: частота целая, относительная частота получается делением на объём выборки. Проверьте себя: частоты в сумме должны дать объём, а относительные частоты — 1; каждая доля не превосходит единицы.

Медиану порой ищут по исходному списку, не упорядочив числа. Тогда «серединный» элемент списка может не быть серединой по величине, поскольку порядок записи ничего не гарантирует. Сначала составьте вариационный ряд, затем найдите центральный элемент или пару центральных. При нечётном количестве наблюдений одна центральная позиция, при чётном — две.

При чётном числе наблюдений ошибочно выбирают только один из двух центральных элементов. Так делают, перенося правило для нечётного ряда, хотя точной единственной середины среди элементов здесь нет. Нужно сложить два центральных числа и разделить сумму на 2. Проверка проста: найденная медиана должна быть между этими числами или совпадать с ними, если они равны.

В дисперсии иногда усредняют сами отклонения, не возводя их в квадрат. Это неверно: отклонения выше и ниже среднего имеют противоположные знаки и могут дать сумму, равную нулю, даже при заметном разбросе. Перед усреднением проверьте, что каждое отклонение возведено в квадрат. Тогда все слагаемые неотрицательны, и дисперсия не может быть отрицательной.

Связь с другими темами

Для обработки данных нужны навыки упорядочивания чисел, вычисления среднего и работы с дробями и процентами. Например, относительную частоту удобно записывать дробью, десятичным числом или процентом, переходя от одной формы к другой. Эти действия уже встречались при изучении арифметики и алгебры.

Статистические характеристики помогают анализировать таблицы, диаграммы и результаты измерений: по ним можно сравнивать центр и разброс разных выборок. Частоты и относительные частоты также используются при изучении вероятности, когда рассматривают, как часто происходит событие в серии испытаний. Поэтому статистика связывает вычисления с практическим анализом данных.

Что запомнить

• Вариационный ряд содержит те же наблюдения, что и исходный набор, но упорядоченные.
• Сумма частот равна объёму выборки.
• Сумма относительных частот равна единице, или 100%.
• Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений.
• Для чётного числа наблюдений медиана — среднее двух центральных элементов вариационного ряда.
• Среднее арифметическое учитывает все наблюдения.
• Дисперсия характеризует разброс данных относительно среднего.