"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Вероятность показывает, насколько возможно случайное событие, и помогает сравнивать шансы разных результатов. В простейших задачах сначала перечисляют все возможные исходы опыта, а затем считают, сколько из них благоприятствуют событию. Если все исходы равновозможны, вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Этот способ работает для конечного набора результатов и позволяет проверить ответ по границам от 0 до 1.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайный опыт — действие или наблюдение, результат которого заранее неизвестен, но возможные результаты можно перечислить. Например, бросок игральной кости — опыт с шестью возможными результатами. Понятие нужно, чтобы точно задать, какие результаты мы будем считать.
Элементарный исход — один из отдельных возможных результатов случайного опыта. При одном броске кости это выпадение конкретного числа, например 4. Исходы служат отдельными вариантами, из которых складывается весь набор результатов опыта.
Событие — условие о результате опыта; событие происходит, если полученный исход ему благоприятствует. Например, событие «выпало чётное число» происходит при исходах 2, 4 или 6. Это понятие позволяет выделить именно те результаты, которые нужны в задаче.
Равновозможные исходы — исходы, каждый из которых имеет одинаковый шанс наступить. У правильной симметричной игральной кости выпадение каждой грани равновозможно. Это условие необходимо, чтобы вероятность можно было находить простым подсчётом исходов.
Сначала опиши случайный опыт и перечисли все его элементарные исходы. Это нужно, чтобы задать полный набор вариантов, с которыми будем сравнивать событие. Не пропускай исходы и не записывай один вариант дважды: иначе изменится общее число, а значит, и результат вычисления. При нескольких действиях отдельно реши, различает ли условие порядок результатов.
Для классического правила исходы должны быть равновозможными. Если один вариант появляется чаще другого, простое сравнение их количества не отражает настоящие шансы. Когда исходы равновозможны, каждый из них вносит одинаковую долю в общий набор. Поэтому общее количество исходов можно поставить в знаменатель дроби.
Затем определи, какие исходы благоприятствуют событию. Благоприятным называют исход, при котором условие задачи выполняется. Их число ставят в числитель: так доля подходящих вариантов сравнивается со всем набором. Следи, чтобы благоприятные исходы были частью уже перечисленных возможных результатов.
Вероятность события находят как отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов: P(A) = m/n, где m — число благоприятных исходов, а n — число всех исходов. Например, если событие подходит для двух вариантов из шести, его вероятность равна 2/6 = 1/3. Сокращение дроби меняет её запись, но не вероятность.
В конце проверь ответ по смыслу. Вероятность не может быть меньше 0 или больше 1, поскольку благоприятных исходов не бывает меньше нуля или больше общего числа. Если подходящих исходов нет, событие невозможно и его вероятность равна 0. Если подходят все исходы, событие достоверно и вероятность равна 1.
| Этап | Что определить | Как использовать |
|---|---|---|
| 1. Случайный опыт | Какое действие выполняют и при каких условиях | Уточнить, какие результаты считаются разными |
| 2. Все элементарные исходы | Полный список возможных результатов | Проверить, что ничего не пропущено и нет повторов |
| 3. Общее число равновозможных исходов | Количество исходов в полном наборе | Использовать как знаменатель дроби |
| 4. Благоприятные исходы для события | Результаты, при которых событие происходит | Посчитать их и поставить число в числитель |
| 5. Вероятность события | Отношение благоприятных исходов к общему числу | Вычислить дробь и проверить границы 0 и 1 |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: не переходи к подсчёту благоприятных вариантов, пока не определил все возможные исходы. В последней строке раздели число благоприятных исходов на общее число. Если исходы не равновозможны, этот способ подсчёта не подходит.
Игральную кость бросают один раз. Найдите вероятность выпадения числа больше 4.
Определим исходы. При броске правильной кости возможны числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Все шесть исходов равновозможны, поэтому общее число вариантов n = 6. В знаменателе будет 6.
Выделим подходящие результаты. Числа больше 4 — это 5 и 6. Значит, благоприятных исходов m = 2. Находим вероятность: P = 2/6 = 1/3.
Ответ: 1/3.
Монету подбрасывают дважды. Найдите вероятность того, что герб выпадет ровно один раз.
Запишем исходы с учётом порядка. Обозначим герб буквой Г, а решку — Р. Получаем пары ГГ, ГР, РГ, РР; они равновозможны. Например, ГР и РГ — разные исходы, потому что герб выпал в разной последовательности.
Посчитаем благоприятные исходы. Ровно один герб выпадает в случаях ГР и РГ, поэтому m = 2. Всего исходов n = 4. Вероятность равна 2/4 = 1/2.
Ответ: 1/2.
В коробке 3 красных и 2 синих одинаковых на ощупь шара. Два шара извлекают подряд без возвращения. Найдите вероятность того, что оба шара красные.
Рассмотрим первое извлечение. Красный шар можно получить в 3 случаях из 5, поэтому вероятность первого красного равна 3/5. После этого шар не возвращают, и в коробке остаются 2 красных из 4 шаров. Состав коробки изменился.
Учтём второе извлечение. При условии, что первый шар красный, вероятность получить красный вторым равна 2/4. Чтобы оба результата были красными, нужны оба последовательных события. Поэтому перемножаем вероятности: 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10.
Ответ: 3/10.
Посчитать благоприятные исходы и остановиться, забыв разделить их на общее число. Так число подходящих вариантов ошибочно принимают за вероятность. Это происходит, когда внимание сосредоточено только на условии события. Проверь себя: у ответа должно быть видно отношение m/n.
В знаменатель включают только варианты, подходящие событию, а не все возможные результаты. Тогда сравнение теряет смысл: вероятность события не может показывать его долю в полном наборе, если сам набор исключён. Ошибка часто возникает из-за того, что список исходов составляют уже под конкретное условие. Перечисли результаты опыта до того, как отбирать благоприятные.
Применять отношение чисел исходов, когда исходы не равновозможны, нельзя. Например, одинаковое количество вариантов не означает одинаковые шансы, если правила или устройство опыта дают им разные вероятности. Причина ошибки — перенос привычной формулы на любой опыт. Сначала проверь симметричность условий; если шансы различаются, нужен другой способ.
При повторных действиях иногда учитывают исходы с повторениями, хотя они невозможны, или не учитывают порядок, хотя результаты различаются последовательностью. В первом случае общее число вариантов завышается, во втором — теряются отдельные исходы. Так случается, если заранее не уточнить, что именно записывает один исход. Проверь список по условию: различает ли оно порядок и допускает ли повтор результата.
Для решения задач нужны навыки перечисления вариантов, работы с дробями и понимание случайного опыта. Умение аккуратно составлять набор исходов помогает не пропускать результаты и не считать их несколько раз. Дробное отношение превращает подсчёт вариантов в число от 0 до 1. Эти действия становятся основой для дальнейших тем.
Классическое определение вероятности используют при изучении независимых и зависимых событий. В таких задачах важно выяснить, влияет ли один результат на шанс другого, как в примере с шарами без возвращения. Вероятностные идеи связаны и со статистикой, где результаты наблюдений собирают и анализируют. Там особенно важно различать теоретические шансы и данные реальных опытов.
Что именно считать элементарным исходом?
Элементарный исход — это один отдельный результат опыта, который нельзя дальше разделить на разные учитываемые варианты. Например, при броске кости исходами служат числа от 1 до 6. При двух бросках монеты исходом будет упорядоченная пара результатов.
Как понять, что исходы равновозможны?
Исходы равновозможны, если у каждого одинаковый шанс произойти. Это следует из устройства опыта: например, у правильной симметричной кости все грани имеют одинаковые шансы выпасть. Если устройство или условия опыта дают результатам разные шансы, классическую формулу напрямую применять нельзя.
Почему в знаменателе нужно учитывать все исходы?
Знаменатель показывает общее число вариантов, среди которых происходит выбор результата. Если оставить в нём только подходящие варианты, мы потеряем сравнение с полной картиной и не найдём вероятность. Поэтому сначала перечисляют все исходы, а уже затем отмечают благоприятные.
Как считать исходы, если опыт проводится несколько раз?
Нужно записывать результат каждого повторения, обычно в порядке проведения опыта. Так разные последовательности не смешиваются: герб, затем решка — не то же самое, что решка, затем герб. Для событий, происходящих одно за другим, также учитывают, меняются ли условия после предыдущего результата.
Можно ли применять классическую формулу, если исходы имеют разные шансы?
Нет, отношение числа благоприятных исходов к общему числу в таком случае может дать неверный результат. Эта формула предполагает конечное число равновозможных исходов. При разных шансах нужна дополнительная информация о вероятностях отдельных результатов.
§ 51. Простейшие вероятностные задачи
