"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Вероятность помогает количественно оценить шанс случайного события — например, выпадения орла или нужной суммы на кубиках. Для простых задач сначала перечисляют все возможные результаты опыта, затем выделяют те, при которых событие происходит. Если каждый результат имеет одинаковый шанс, вероятность находят делением числа благоприятных исходов на число всех исходов. Она всегда лежит между 0 и 1, а вероятности противоположных событий в сумме дают 1.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайный опыт — действие с заранее известными возможными исходами, результат которого нельзя предсказать точно. Например, бросок кубика может дать числа от 1 до 6. Это понятие нужно, чтобы чётко задать, какие результаты будем учитывать в задаче.
Элементарный исход — один отдельный возможный результат случайного опыта. При одном броске кубика таким исходом будет выпадение конкретного числа, например 4. Если исходы записаны правильно, их перечень описывает все возможные результаты без смешения разных вариантов.
Равновозможные исходы — исходы, каждый из которых имеет одинаковый шанс произойти. У симметричной монеты орёл и решка равновозможны, поскольку сама монета не отдаёт предпочтения одной стороне. Это свойство необходимо проверить, прежде чем считать вероятность по числу исходов.
Вероятность события — число, показывающее, насколько вероятно событие; при равновозможных исходах её находят как отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Обозначение P(A) означает вероятность события A. По этому числу можно сравнивать шансы разных событий.
Сначала задают случайный опыт и составляют список его элементарных исходов. Список должен содержать каждый возможный результат ровно один раз: пропуск уменьшит общее число исходов, а повтор одного результата искусственно его увеличит. Поэтому при броске кубика записывают 1, 2, 3, 4, 5 и 6, а не только числа, подходящие условию задачи. Такой порядок действий помогает не спутать описание опыта с выбором нужных результатов.
После этого формулируют событие и отмечают исходы, при которых оно происходит. Их называют благоприятными, потому что именно они соответствуют требованию задачи. Например, событие «выпало чётное число» включает исходы 2, 4 и 6, но не остальные результаты. Событие не обязано происходить при каждом испытании: достаточно, чтобы подходил хотя бы один возможный исход.
Формулу P(A) = число благоприятных исходов / число всех исходов применяют только тогда, когда исходы равновозможны. Причина в том, что при одинаковых шансах каждый исход вносит равный вклад в общий шанс события. Если же один результат выпадает чаще другого, простое отношение количества исходов не отражает настоящую вероятность. Например, у неправильно изготовленного кубика грани могут быть неравноправны, поэтому равновозможность нельзя принимать на веру.
Вероятность невозможного события равна 0: ему не соответствует ни один исход. Вероятность достоверного события равна 1, потому что оно происходит при каждом возможном результате опыта. Для любого события вероятность находится между этими числами включительно: благоприятных исходов не может быть меньше нуля или больше общего числа исходов. Эти границы позволяют быстро заметить ошибку в вычислениях.
Противоположное событие наступает тогда и только тогда, когда исходное не произошло. При одном испытании из двух событий — исходного и противоположного — обязательно происходит одно, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Отсюда следует формула P(не A) = 1 − P(A). Ею удобно пользоваться, когда проще посчитать исходы, при которых событие не наступает, а затем вычесть полученную вероятность из единицы.
| Событие | Что это означает | Вероятность |
|---|---|---|
| Невозможное событие | Событие не наступает ни при одном исходе | 0 |
| Достоверное событие | Событие наступает при каждом исходе | 1 |
| Случайное событие | Событие наступает при некоторых исходах | Число благоприятных исходов / число всех исходов |
| Противоположное событие | Событие, которое происходит, если исходное не произошло | 1 − вероятность исходного события |
Сначала определите, к какому типу относится событие, а затем выберите подходящий способ. Для случайного события проверьте равновозможность исходов и подсчитайте благоприятные варианты. Для противоположного события используйте вычитание из 1.
Ответ: 1/2. Здесь важно не только заметить два варианта, но и обосновать, что монета не имеет перекоса и оба результата одинаково вероятны.
Ответ: 1/3. Проверка показывает, что вероятность положительна и меньше 1, как и должна быть у события, которое происходит лишь при некоторых исходах.
Ответ: 1/6. Такой способ с парами помогает не потерять варианты и верно посчитать общее число равновозможных исходов.
Первая ошибка — считать исходы равновозможными без основания. Часто знакомая формула кажется универсальной, но она работает только при одинаковых шансах всех элементарных исходов. Проверьте, что это следует из условий опыта: например, монета и кубик симметричны. Если равновозможность не задана и не обоснована, одного подсчёта вариантов недостаточно.
Вторая ошибка — не различать исходы с одинаковым итоговым числом. При броске двух кубиков пары (1; 6) и (6; 1) дают одинаковую сумму, но это разные результаты опыта: различаются результаты первого и второго кубиков. Их объединение уменьшит число благоприятных исходов и исказит вероятность. Для проверки записывайте каждый элементарный исход отдельно и в одинаковом порядке.
Третья ошибка — пропустить исход или учесть один и тот же дважды. Такое бывает, когда список составляют наугад, без системы; тогда неверными становятся и общее число вариантов, и число благоприятных. Перечисляйте исходы последовательно, например по возрастанию первого, а затем второго числа. После этого проверьте, что все варианты из условия попали в список ровно один раз.
Четвёртая ошибка — получить вероятность меньше 0 или больше 1. Обычно это означает, что допущена ошибка в подсчёте либо благоприятных исходов оказалось формально больше общего числа. Вероятность невозможного события равна 0, а достоверного — 1, поэтому любой ответ должен лежать в этих границах. Пересчитайте числитель и знаменатель и убедитесь, что числитель не превышает знаменатель.
Для вероятностных задач нужно уметь перечислять варианты и точно считать их количество. Также пригодятся действия с дробями: вероятность часто получается в виде дроби, которую можно сократить. Если исходы сложные, способы комбинаторики помогают найти их число, не выписывая каждый по отдельности.
Вероятностные рассуждения используют в статистике и в практической оценке случайных событий. Статистика помогает изучать данные, полученные в повторяющихся наблюдениях, а вероятность описывает возможные шансы заранее. Эти идеи полезны, например, когда нужно оценить риск или сравнить, насколько вероятны разные результаты.
Что считать элементарным исходом в задаче?
Элементарный исход — один отдельный возможный результат опыта. Например, при броске кубика это выпадение конкретного числа, а при броске двух кубиков — конкретная пара чисел.
Как понять, что исходы равновозможны?
Исходы равновозможны, если у каждого из них одинаковый шанс произойти. Это должно следовать из условий опыта, например из того, что монета или кубик симметричны и не имеют перекоса.
Почему при броске двух кубиков исходы нужно записывать парами?
Пара указывает результат первого и второго кубика, поэтому позволяет различить все варианты опыта. Например, (1; 6) и (6; 1) — разные исходы, хотя сумма в обоих случаях равна 7.
Может ли вероятность события быть больше 1?
Нет, вероятность всегда находится от 0 до 1 включительно. Если получено число больше 1, значит, скорее всего, неверно посчитаны исходы или выбран знаменатель.
Как найти вероятность события через вероятность противоположного?
Вероятность противоположного события равна 1 − P(A), где P(A) — вероятность исходного события. Поэтому, если найти вероятность самого события сложно, можно посчитать вероятность того, что оно не произойдёт.
§ 20. Простейшие вероятностные задачи
