§ 28. Простейшие вероятностные задачи

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные результаты можно описать. Например, бросок кубика является опытом, потому что заранее нельзя знать выпавшее число. Это понятие задаёт ситуацию, для которой ищут вероятность.

Исход случайного опыта — один из возможных результатов опыта. При одном броске кубика исходами будут числа от 1 до 6, а при двух бросках — пары результатов. Точное описание исхода нужно, чтобы не пропустить варианты и не посчитать один вариант несколько раз.

Равновозможные исходы — исходы, каждый из которых имеет одинаковый шанс наступить. У правильного кубика все шесть граней равновозможны. Это условие позволяет сравнивать события просто по числу подходящих исходов.

Вероятность события в опыте с равновозможными исходами — отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: P = m/N. Здесь N — число всех исходов, а m — число исходов, при которых событие происходит. Такая запись показывает долю подходящих вариантов и даёт число от 0 до 1.

Как это устроено

Сначала описывают случайный опыт и перечисляют все его возможные исходы. Это нужно делать по смыслу условия: результат выбора двух карточек может быть парой без порядка, а результаты двух бросков обычно записывают по порядку. Если изменить описание, изменится и общее число вариантов, поэтому исходы определяют до вычислений.

Классическую формулу применяют только тогда, когда исходы равновозможны и их конечное число. Равновозможность означает, что нельзя предпочесть один исход другому по вероятности. Если шансы различны, простое отношение количества вариантов уже не описывает вероятность и требуется другой способ рассуждения.

Событие задают как множество исходов, при которых выполняется условие задачи. Например, событие «выпало число больше 4» состоит из исходов 5 и 6. Благоприятные исходы не выбирают по удобству: каждый из них должен действительно удовлетворять условию.

Если всего N исходов, а благоприятными являются m, то вероятность равна P = m/N. Числитель не может быть отрицательным или больше знаменателя, поскольку подходящие исходы входят в общее множество. Поэтому всегда выполняется 0 ≤ P ≤ 1: 0 означает невозможное событие, а 1 — событие, происходящее при любом исходе.

Когда вариантов много, их считают систематически: составляют таблицу, рисуют схему или применяют правила комбинаторики. Такой порядок уменьшает риск пропуска и повторного учёта. После подсчёта полезно проверить, совпадает ли общее число вариантов с выбранным способом описания опыта.

Как находить вероятность события в простейшей задаче

Пользуйтесь таблицей как коротким алгоритмом решения. Сначала заполните описание опыта и общее множество исходов, затем проверьте равновозможность. После этого выделите благоприятные варианты, подставьте их количество в формулу и оцените разумность ответа.

Разбор задач

Задача 1. Правильный игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность выпадения числа, большего 4. Нужно сравнить подходящие результаты с полным набором результатов одного броска.

1. Возможные исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. У правильного кубика они равновозможны, поэтому N = 6.
2. Числа больше 4 — это 5 и 6. Значит, благоприятных исходов m = 2.
3. По формуле получаем P = m/N = 2/6 = 1/3.

Ответ: 1/3.

Задача 2. Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4 случайно выбирают две без возвращения. Найдите вероятность того, что сумма выбранных цифр равна 5. Порядок выбора не учитываем, поскольку требуется только набор выбранных карточек.

1. Все пары без повторов: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4). Всего N = 6 пар.
2. Сумму 5 дают пары (1, 4) и (2, 3), поэтому m = 2.
3. Вероятность равна P = 2/6 = 1/3.

Ответ: 1/3.

Задача 3. Правильную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз. Броски происходят последовательно, поэтому результат первого броска нужно отличать от результата второго.

1. Упорядоченные исходы: (орёл, орёл), (орёл, решка), (решка, орёл), (решка, решка). Все четыре равновозможны, значит N = 4.
2. Ровно один орёл получается в двух исходах: (орёл, решка) и (решка, орёл). Следовательно, m = 2.
3. P = 2/4 = 1/2.

Ответ: 1/2. Порядок здесь нельзя стирать: два подходящих исхода возникают при разных результатах первого броска.

Типичные ошибки

Считать исходы равновозможными без проверки. Иногда варианты выглядят одинаково, но имеют разные шансы, поэтому формула m/N становится неверной. Проверьте устройство опыта и убедитесь, что каждый исход действительно равновероятен.

Менять способ описания исходов. Например, общий набор считают как неупорядоченные пары, а подходящие варианты — как упорядоченные. Из-за этого числитель и знаменатель относятся к разным моделям, поэтому заранее выберите единый способ.

Пропускать или повторно учитывать исходы. Это случается при неорганизованном переборе вариантов. Перечисляйте их в одном порядке, используйте таблицу или после подсчёта проверьте список на повторы.

Получать вероятность меньше 0 или больше 1. Такой результат невозможен, потому что благоприятные исходы являются частью всех исходов. Проверьте числа m и N, знак дроби и правильность деления.

Связь с другими темами

Для вероятностных задач нужны навыки перечисления конечных множеств, работы с дробями и понимания условий «и», «или», «ровно один раз». Если эти слова разобраны точно, проще выделить нужные исходы.

Подсчёт вариантов связан с правилами комбинаторики. Эти правила помогают решать задачи, где прямой перебор становится длинным, и переходить к более сложным событиям.

Последовательности результатов связывают вероятность с таблицами и деревьями вариантов. Такие схемы особенно полезны при нескольких последовательных испытаниях.

Что запомнить

• Сначала точно опиши случайный опыт и его исходы.
• Классическая формула применима к конечному набору равновозможных исходов.
• Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
• Каждый исход нужно учитывать ровно один раз.
• Вероятность любого события находится от 0 до 1 включительно.
• При последовательных действиях важно решить, различается ли порядок результатов.