"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г. и др. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г.
Случайный эксперимент — опыт с заранее известными возможными результатами, но неизвестным фактическим исходом. Чтобы описывать такие опыты, выделяют элементарные исходы и события, а по серии испытаний находят относительную частоту. Она помогает оценить вероятность, то есть меру возможности события. Для равновозможных исходов вероятность можно вычислить точно: разделить число благоприятных исходов на число всех исходов. Эти понятия нужны для анализа данных и обоснованных прогнозов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайный эксперимент — опыт, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные исходы известны. Например, при броске кубика нельзя заранее знать выпавшее число, но можно перечислить результаты от 1 до 6. Понятие нужно, чтобы отличать случайные опыты от тех, чей результат однозначно задан условиями.
Элементарный исход — один возможный результат опыта, а событие — совокупность исходов, при которых выполняется определённое условие. При броске кубика выпадение числа 4 — элементарный исход, а выпадение чётного числа объединяет исходы 2, 4 и 6. Такое разделение помогает записать событие через результаты, из которых оно складывается.
Относительная частота события — отношение числа наступлений события к общему числу проведённых испытаний. Если событие произошло m раз в n опытах, его частота равна m/n. Она нужна, чтобы кратко описывать результаты серии опытов и сравнивать их с ожидаемой вероятностью.
Вероятность события — числовая мера возможности его наступления; для равновозможных исходов она равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Благоприятными называют те результаты, при которых событие происходит. Вероятность позволяет оценивать шанс события до опыта, а не только подсчитывать уже полученные результаты.
В случайном эксперименте заранее перечисляют все возможные исходы, потому что без этого нельзя понять, какие результаты вообще могут появиться. Но знание списка не раскрывает, какой исход реализуется в конкретном опыте: на результат влияют случайные обстоятельства. Например, при броске кубика доступны шесть граней, однако заранее выбрать выпавшую грань невозможно. Поэтому прогноз здесь относится к шансам, а не к точному единичному результату.
Событие составляют из элементарных исходов, которые подходят под условие задачи. Это удобно, потому что многие условия описывают не один результат, а целую группу: «выпало меньше 4» означает исходы 1, 2 и 3. При этом событие может состоять и из одного исхода, например «выпало 6». Чтобы не пропустить результат, проверяют каждый элементарный исход на соответствие условию.
После серии опытов частоту находят делением числа наступлений события на общее количество испытаний. Например, если герб появился 34 раза за 60 подбрасываний, доля таких результатов равна 34/60. Деление переводит простое количество случаев в долю, которую можно сравнивать для серий разного размера. Чем больше знаменатель, тем больше опытов учтено в этой оценке.
При увеличении числа испытаний относительная частота обычно приближается к вероятности, потому что случайные отклонения меньше меняют общую долю в длинной серии. В короткой серии несколько необычных результатов могут заметно сдвинуть частоту. Например, в десяти бросках кубика шестёрка может не появиться вовсе, хотя её вероятность равна 1/6. При этом сближение — закономерная тенденция, а не обещание точного совпадения в каждом опыте.
Вероятность считают по равновозможным исходам, если каждому исходу соответствует одинаковый шанс и все исходы перечислены. Тогда достаточно посчитать, сколько результатов подходят условию, и разделить это число на общее количество. Если равновозможность нельзя обосновать или исходы неизвестны, используют результаты наблюдений и частоту как экспериментальную оценку. Поэтому перед выбором способа нужно выяснить, что именно дано: модель опыта или данные серии испытаний.
| Понятие | Обозначение | Как определяется | Что показывает |
|---|---|---|---|
| Случайный эксперимент | — | Опыт с заранее известными возможными исходами и неизвестным фактическим результатом | Ситуацию, в которой результат случаен |
| Элементарный исход | ω | Один отдельный возможный результат опыта | Что именно могло произойти |
| Событие | A | Набор исходов, удовлетворяющих условию | Какое условие опыта нас интересует |
| Число всех испытаний | n | Общее количество проведённых опытов | Размер серии наблюдений |
| Число наступлений события | m | Количество испытаний, в которых событие произошло | Сколько раз событие наблюдалось |
| Относительная частота события | m/n | Число наступлений делят на число испытаний | Долю наступлений в серии опытов |
| Вероятность события | P(A) | Для равновозможных исходов число благоприятных делят на общее число исходов | Меру возможности события |
В таблице удобно сначала определить, описывается ли модель исходов или результаты уже проведённых испытаний. Для серии опытов нужны n и m, а для равновозможных исходов — число благоприятных результатов и общее число результатов. Обозначение m/n относится к наблюдаемой частоте, а P(A) — к вероятности события.
Монету подбросили 60 раз, герб выпал 34 раза. Требуется найти относительную частоту выпадения герба. Здесь известны оба числа, необходимые для расчёта: число наступлений события и количество испытаний.
Ответ: относительная частота выпадения герба равна 17/30, или примерно 0,567 (56,7%). Это доля в данной серии, а не обещание, что герб будет выпадать ровно в такой же пропорции в другой серии.
Игральную кость бросают один раз. Нужно найти вероятность события «выпало чётное число очков». У правильной кости шесть равновозможных исходов, поэтому можно применить классическую формулу вероятности.
Ответ: вероятность выпадения чётного числа равна 1/2. Такое значение означает, что при большом числе бросков доля чётных результатов обычно будет близка к половине, но в отдельной серии может отличаться.
В 600 бросках грань 6 выпала 97 раз. Требуется оценить вероятность шестёрки и предсказать её число в 3000 бросках. Поскольку дана серия наблюдений, используем относительную частоту как оценку, а не выдаём её за точное значение.
Ответ: вероятность оценивается примерно как 0,162, а ожидаемое число шестёрок — около 485. Это прогноз по частоте предыдущей серии, а не гарантия конкретного результата следующих бросков.
Вероятность путают с относительной частотой, потому что обе величины записывают числами от 0 до 1. Но вероятность относится к модели события, а частота вычисляется по конкретным наблюдениям. Проверьте себя: если в условии указано число уже проведённых опытов и результатов, сначала речь идёт о частоте.
В формуле вероятности иногда делят число благоприятных исходов только на их количество, забывая общее число исходов. Причина — внимание сосредоточено на результатах, подходящих условию. Перед вычислением выпишите полный список исходов и посчитайте его количество отдельно от благоприятных.
Некоторые ожидают, что при небольшом числе испытаний частота точно совпадёт с вероятностью. Такое ожидание возникает из-за неверного понимания вероятности как обещания результата в каждой серии. Проверьте рассуждение: вероятность задаёт шанс, а небольшое число опытов допускает заметные случайные отклонения.
Формулу классической вероятности применяют, даже если исходы неравновозможны. Это происходит, когда равное количество результатов принимают за равные шансы без проверки условий опыта. Перед делением спросите, действительно ли у каждого элементарного исхода одинаковая вероятность; если нет, простое отношение чисел не подходит.
Для работы с относительной частотой нужны дроби, отношения, проценты и умение делить одно количество на другое. Например, частоту 34/60 можно оставить дробью, записать десятичным числом или выразить в процентах. Все формы описывают одну и ту же долю.
Комбинаторика помогает перечислять и подсчитывать элементарные и благоприятные исходы, особенно когда исходов много. Эти подсчёты нужны, чтобы применить формулу классической вероятности. Важно при этом проверить, что рассматриваемые исходы равновозможны.
Вероятности и частоты применяют в статистике, при обработке результатов экспериментов, оценке рисков и прогнозировании. Наблюдения помогают оценивать шансы, а вероятностная модель объясняет, чего ожидать при повторении опыта. В реальных задачах выводы зависят от качества данных и выбранной модели.
Чем вероятность отличается от относительной частоты?
Вероятность характеризует событие в выбранной модели опыта, а относительная частота показывает, как часто оно произошло в конкретной серии испытаний. Частоту вычисляют по наблюдениям, поэтому в разных сериях она может отличаться.
Почему при большом числе опытов частота приближается к вероятности?
В большой серии случайные колебания обычно меньше влияют на долю наступлений события. Поэтому относительная частота, как правило, становится ближе к вероятности, хотя точное совпадение не гарантировано.
Как понять, какие исходы считать элементарными?
Элементарный исход — один отдельный возможный результат опыта. Выбирайте такое описание результатов, чтобы каждый исход был чётко различим, а все возможные результаты были перечислены.
Можно ли найти вероятность события только по одному эксперименту?
По одному опыту можно узнать лишь, произошло событие или нет; надёжную относительную частоту по нему не оценить. Вероятность можно найти по модели с равновозможными исходами, а экспериментальную оценку получают по серии испытаний.
Почему нельзя делить число благоприятных исходов на число исходов, если они неравновозможны?
Формула отношения числа благоприятных исходов к числу всех работает, когда все исходы имеют одинаковую вероятность. Если это не так, простое количество исходов не отражает их шансы, и нужно учитывать вероятности отдельных результатов.
§ 29. Экспериментальные данные и вероятности событий ...
