§ 27. Статистика — дизайн информации

Определения и обозначения

Статистические данные — числовые сведения о группе объектов или явлений. Они помогают отвечать на вопросы вроде «сколько книг читают ученики?» или «какой кружок выбирают чаще?». По таким данным можно сравнивать группы и замечать закономерности, которые не видны по одному наблюдению.

Статистическая совокупность — множество объектов, о которых собирают сведения. Если изучают чтение в классе, совокупностью будут все ученики класса, а отдельный объект — один ученик. Это различие нужно, чтобы понимать, к кому относятся выводы исследования.

Частота — число объектов, у которых признак имеет выбранное значение. Например, если пять учеников прочитали по две книги, частота значения «2 книги» равна 5. Частоты показывают, как распределены данные, и позволяют сравнивать, какие значения встречаются чаще.

Статистическая диаграмма — наглядное представление данных с помощью графических элементов: столбцов, секторов или других фигур. Она помогает быстрее увидеть различия, чем при чтении длинного списка чисел. Вид диаграммы выбирают по цели: сравнить категории или показать доли целого.

Как это устроено

Статистическое исследование начинается с вопроса, потому что без него непонятно, какие сведения собирать и как их потом использовать. Сначала определяют совокупность — например, учеников одного класса, — а затем признак, который будут изучать: число прочитанных книг, возраст или выбранный кружок. Если вопрос сформулирован расплывчато, данные могут оказаться неподходящими для ответа. Поэтому до сбора сведений полезно заранее решить, что именно будет считаться наблюдением.

После сбора данные группируют по значениям признака и считают, сколько раз встретилось каждое значение. Это делает длинный список результатов удобным для анализа: вместо повторяющихся чисел появляются значения и соответствующие им частоты. Сумма частот должна равняться количеству наблюдений, потому что каждый объект учитывается один раз. Если сумма отличается, значит, при группировке что-то пропустили или посчитали дважды.

Таблица упорядочивает значения признака и частоты, поэтому по ней легко найти точные числа. Но сравнивать несколько категорий по множеству строк бывает неудобно: различия приходится мысленно удерживать и сопоставлять. Диаграмма переводит числа в зрительно различимые элементы, например в столбцы разной высоты. Так быстрее заметно, какая категория больше, меньше или близка к другой.

Столбчатую диаграмму выбирают, когда нужно сравнить отдельные категории: например, популярность кружков или число учеников в группах. Высота столбца соответствует числу наблюдений, поэтому столбцы строят по одной шкале и подписывают категории. Круговая диаграмма подходит, когда данные делят одно целое на части, например показывают ответы всех участников опроса. В ней доли должны составлять целое, иначе диаграмма не описывает полный состав группы.

Дизайн влияет на то, насколько правильно читатель поймёт результат. Если у столбцов нет подписей, непонятно, какие категории сравниваются; если не указаны единицы, нельзя определить смысл чисел. Неудачно выбранный масштаб может зрительно увеличить маленькую разницу или скрыть большую. Поэтому оформление должно помогать увидеть числовые отношения, а не подменять их впечатлением.

Способы представления статистических данных

Сначала решите, что нужно сообщить читателю: точные значения, сравнение категорий или состав целого. Затем выберите подходящую строку таблицы и проверьте указанные особенности оформления. Если диаграмма мешает увидеть нужную информацию, лучше выбрать другой способ представления.

Разбор задач

Книги, прочитанные учениками

Условие: в классе записали, сколько книг прочитал каждый ученик за месяц. Нужно составить таблицу значений признака и частот. Конкретные результаты в условии не перечислены, поэтому таблицу заполняют по собранным ответам, а не придумывают числа.

1. Определяем признак: число книг, прочитанных учеником за месяц. Каждый ученик — одно наблюдение, а все ученики класса образуют изучаемую совокупность. Записываем полученные значения в список.

2. Выписываем разные значения признака по одному разу и располагаем их по возрастанию. Например, если в списке есть 0, 1 и 3, эти значения становятся строками таблицы. Повторяющиеся числа в список уникальных значений не добавляем.

3. Для каждого значения считаем, сколько раз оно встретилось в исходном списке. Это число записываем как частоту рядом с соответствующим значением. Удобно отмечать подсчитанные ответы, чтобы не учитывать одного ученика дважды.

4. Складываем частоты и сравниваем сумму с числом учеников, участвовавших в сборе данных. Совпадение подтверждает, что каждый ответ учтён. Если итоги различаются, пересчитываем частоты и проверяем, не пропущено ли какое-либо значение.

Ответ: таблица должна содержать два столбца — «Число прочитанных книг» и «Частота», а её строки заполняются фактическими результатами опроса. Контрольная проверка: сумма частот равна числу учеников.

Популярность школьных кружков

Условие: по таблице известны числа учеников, выбравших каждый из пяти кружков. Нужно представить данные так, чтобы популярность кружков было легко сравнить. Здесь важно сравнить отдельные категории, а не показать части единого целого.

1. Выбираем столбчатую диаграмму: каждый кружок будет отдельной категорией, а число выбравших его учеников — высотой столбца. Такой способ позволяет сразу увидеть лидирующие и менее популярные варианты. Кружки с близкими результатами также удобно сопоставлять.

2. Переносим названия кружков на горизонтальную ось, а числа учеников — на вертикальную. Задаём единую шкалу для всех столбцов, отмечаем её деления и подписываем оси. Если единица измерения не указана, читатель может не понять, что именно показывают числа.

3. Строим пять столбцов одинаковой ширины, каждый доводим до отметки, соответствующей его числу. Проверяем, что масштаб один и тот же и ни одна категория не пропущена. Затем сравниваем высоты, чтобы увидеть различия.

Ответ: используем столбчатую диаграмму с подписанными кружками и общей шкалой. По ней можно сравнить популярность всех пяти вариантов.

Ответы участников опроса

Условие: в опросе участвовали 40 человек; вариант А выбрали 18 человек, вариант Б — 12, остальные выбрали вариант В. Нужно показать результаты как доли и предложить наглядное представление. Поскольку требуется показать части от общего числа участников, подойдёт круговая диаграмма.

1. Находим частоту варианта В: из 40 участников 18 выбрали А и 12 — Б, значит, на В приходится 40 − 18 − 12 = 10 человек. Проверяем: 18 + 12 + 10 = 40, следовательно, все ответы учтены. Получились частоты для всех трёх вариантов.

2. Делим каждую частоту на общее число участников. Для А получаем 18/40 = 0,45, или 45%; для Б — 12/40 = 0,30, или 30%; для В — 10/40 = 0,25, или 25%. Эти числа показывают доли участников, выбравших каждый вариант.

3. Проверяем, что доли составляют целое: 45% + 30% + 25% = 100%. Затем изображаем круговую диаграмму, разделяя круг на три сектора в соответствии с долями. Подписываем каждый сектор и указываем, что показаны ответы 40 участников.

Ответ: А — 18 человек, или 45%; Б — 12 человек, или 30%; В — 10 человек, или 25%. Результаты удобно показать круговой диаграммой, потому что она отображает состав общего числа ответов.

Типичные ошибки

Частоту иногда принимают за само значение признака. Например, число 3 может означать, что ученик прочитал три книги, а частота 3 — что такое значение встретилось у трёх учеников. Путаница возникает из-за того, что оба числа записаны в одной таблице. Проверка: задайте к числу вопрос «сколько объектов?», если это число наблюдений, перед вами частота.

При сравнении столбцов можно не заметить, что у диаграмм разные масштабы или шкала начинается не с нуля. Тогда одинаковые числовые различия выглядят по-разному, и зрительное впечатление вводит в заблуждение. Такая ошибка появляется, когда внимание обращают только на высоту столбцов, а не на ось. Перед выводом сравните деления и убедитесь, что использована общая шкала.

Круговую диаграмму используют и тогда, когда категорий слишком много или значения близки. В результате сектора трудно различить и сравнить, хотя именно сравнение может быть главной целью. Ошибку допускают, считая, что круговая диаграмма подходит для любых данных. Проверьте, легко ли определить доли и не будет ли столбчатая диаграмма нагляднее.

Если забыть подписи, единицы измерения или общий итог, читатель может неверно понять график. Например, без указания, что числа обозначают учеников, нельзя определить смысл шкалы; без общего числа неясно, от какого целого рассчитаны доли. Обычно эти детали пропускают, потому что они кажутся очевидными автору диаграммы. Проверьте, сможет ли посторонний человек прочитать её без дополнительных объяснений.

Связь с другими темами

Для работы со статистикой нужны навыки сбора и упорядочивания числовых данных. Также пригодятся действия с натуральными и дробными числами: ими записывают частоты, доли и результаты вычислений. Чтобы переводить число участников в часть всей группы, нужно уметь находить долю и процент.

Представление данных связано с изучением вероятности: сведения о результатах наблюдений и опытов помогают описывать случайные события. Те же навыки нужны при анализе экспериментов и чтении графиков в других предметах. Умение проверять подписи, шкалы и масштаб помогает отличать точное сообщение от зрительно убедительного, но вводящего в заблуждение.

Что запомнить

• Статистические данные отвечают на вопрос об изучаемой совокупности.
• Частота показывает, сколько раз встретилось значение признака.
• Сумма частот равна числу наблюдений.
• Таблица помогает упорядочить данные.
• Столбчатая диаграмма удобна для сравнения категорий.
• Круговая диаграмма показывает части целого.
• Оформление не должно искажать смысл числовых данных.