"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Статистика помогает превращать набор отдельных наблюдений в понятную картину. Числа упорядочивают, подсчитывают частоты и представляют в таблицах или диаграммах. Так можно увидеть, какое значение встречается чаще, сравнить результаты групп разного размера и сделать обоснованный вывод. Главное — правильно выбрать способ представления данных и учитывать подписи, единицы измерения и масштаб изображения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Статистические данные — числовые сведения, собранные при наблюдении или измерении. Они описывают отдельные случаи и всю изучаемую совокупность, то есть набор объектов или результатов. Например, оценки учеников — отдельные наблюдения, а весь список оценок — изучаемая совокупность.
Частота значения — число раз, которое это значение встречается в наборе данных. Чтобы найти частоту, достаточно перебрать список и подсчитать одинаковые значения. Этот показатель помогает понять, какие результаты повторяются чаще.
Относительная частота — доля наблюдений с данным значением от общего числа наблюдений. Её находят делением частоты на объём набора; записать результат можно дробью, десятичным числом или процентом. Относительные частоты особенно полезны при сравнении групп разного размера.
Частотная таблица — таблица, в которой значения признака сопоставлены с их частотами или относительными частотами. В ней данные расположены компактно и их легче проверять. По такой таблице можно построить диаграмму и сделать вывод о распределении результатов.
Список чисел часто выглядит беспорядочно, даже если в нём есть закономерность. Поэтому наблюдения сначала приводят в порядок: выделяют разные значения и считают их повторения. После этого становится видно, какие результаты совпадают, какие встречаются редко, а какие — часто.
Частотную таблицу строят в два шага: записывают разные значения признака, затем подсчитывают число появлений каждого. Такая проверка нужна, чтобы ни один результат не потерялся и не был учтён дважды. Сумма полученных частот должна совпадать с количеством всех наблюдений.
Относительная частота показывает не просто количество случаев, а их часть от целого. Поэтому она позволяет сравнивать наборы разного размера: например, классы с 20 и 25 учениками. Если вычисления выполнены без округления, сумма относительных частот равна 1, а в процентах — 100%; при округлении возможна небольшая погрешность.
Способ представления выбирают по цели работы. Таблица сохраняет точные значения и удобна для вычислений, а диаграмма позволяет быстро заметить соотношения и самое частое значение. Столбчатая диаграмма хорошо сравнивает категории, круговая показывает, из каких частей складывается целое.
Изображение данных нужно читать не только по форме столбцов или секторов. Подписи объясняют, что именно измеряется, единицы уточняют величины, а масштаб показывает цену деления. Если не проверить эти элементы, визуально заметная разница может оказаться преувеличенной или вообще быть неверно понята.
| Способ | Что показывает | Когда удобен | Что проверять при чтении |
|---|---|---|---|
| Исходный список данных | Все наблюдения по порядку получения | Для первичного сбора и повторной проверки | Полноту списка и единицы измерения |
| Частотная таблица | Значения и число их появлений | Для точного подсчёта и поиска наиболее частого значения | Сумму частот и отсутствие пропусков |
| Таблица относительных частот | Доли или проценты каждого значения | Для сравнения групп разного размера | Сумму долей и способ округления |
| Столбчатая диаграмма | Сравнение частот или долей категорий | Для быстрого зрительного сравнения | Подписи осей, шаг шкалы и высоты столбцов |
| Круговая диаграмма | Части единого целого | Для показа состава совокупности | Что принято за 100% и соответствие секторов значениям |
Сначала определите, какие сведения нужны: точные числа лучше искать в таблице, а общее соотношение — на диаграмме. Затем проверьте заголовок, подписи и масштаб. Если данные округлены, учитывайте это при сравнении и выводах.
В опросе 12 учеников получены ответы: 3, 4, 3, 5, 4, 3, 2, 4, 5, 3, 4, 4. Требуется составить частотную таблицу. Сначала выделим только разные значения, а затем пересчитаем каждое из них.
Ответ: частоты значений 2, 3, 4, 5 равны соответственно 1, 4, 5 и 2. Самым частым оказался ответ 4.
В двух классах одинаково часто выбирали три кружка, но в одном классе было 20 учеников, а в другом — 25. Нужно сравнить доли выбравших каждый кружок. Одних количеств недостаточно, потому что размеры классов различаются.
Ответ: сравнивать нужно относительные частоты, например m₁/20 и m₂/25, а не только числа m₁ и m₂. Так определяется, какая доля каждого класса выбрала кружок.
По частотной таблице распределения оценок нужно построить подходящую диаграмму и определить наиболее частую оценку. Оценки являются категориями, которые удобно сопоставлять по высоте столбцов.
Ответ: подходит столбчатая диаграмма, а наиболее часто встречается оценка 4, поскольку её столбец самый высокий.
Ошибка 1. Относительную частоту принимают за простое количество случаев. Так происходит, когда забывают о размере всей совокупности. Проверьте себя формулой: относительная частота = частота / число наблюдений.
Ошибка 2. Не проверяют сумму частот. Если она не равна числу наблюдений, значение могло быть пропущено или посчитано дважды. После составления таблицы всегда сложите частоты.
Ошибка 3. Сравнивают абсолютные частоты в наборах разного размера. Большая группа может дать больше случаев только потому, что в ней больше участников. Для честного сравнения вычисляйте доли или проценты.
Ошибка 4. Делают вывод только по внешнему виду диаграммы. Необычный масштаб способен зрительно увеличить или уменьшить различия. Сначала прочитайте подписи и шаг шкалы, а затем сравнивайте данные.
Для работы со статистикой нужны арифметические действия с натуральными и десятичными числами. Также нужно уметь находить долю от целого и переводить её в проценты. Эти навыки используются при вычислении относительных частот.
Тема связана с чтением таблиц и координатных изображений. Данные следует сопоставлять с заголовками, шкалой и единицами измерения, иначе можно неверно прочитать результат. Такой способ внимательного чтения полезен и в других задачах.
Таблицы и диаграммы понадобятся при изучении вероятности и анализе результатов наблюдений. Они помогают описывать эксперименты, сравнивать группы и обосновывать выводы. Навык пригодится также на уроках биологии, географии и обществознания.
Чем частота отличается от относительной частоты?
Частота — это количество появлений значения в наборе данных. Относительная частота показывает его долю: частоту делят на общее число наблюдений и при необходимости записывают в процентах.
Как проверить, правильно ли составлена частотная таблица?
Сложите все частоты и сравните результат с числом наблюдений. Если суммы не совпали, нужно проверить, не пропущено ли значение и не посчитано ли оно дважды.
Почему для сравнения классов разного размера лучше использовать проценты?
Одинаковое число ответов в больших и маленьких классах означает разные доли учеников. Проценты учитывают общий размер каждой группы, поэтому сравнение получается корректным.
Как выбрать между таблицей, столбчатой и круговой диаграммой?
Таблица подходит, когда нужны точные значения. Столбчатая диаграмма удобна для сравнения частот разных категорий, а круговая — для показа частей единого целого.
Почему нельзя делать вывод по диаграмме, не проверив её шкалу?
Шкала определяет, чему соответствует высота столбца или расстояние на оси. Необычный шаг шкалы или обрезанная ось могут зрительно преувеличить или скрыть различия.
§ 19. Статистика — дизайн информации
