"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Комбинаторная задача помогает узнать, сколько способов выбрать предметы, составить комплект или проложить маршрут. Для подсчёта важно понять, как связаны действия: нужно выбрать один вариант из разных групп или выполнить несколько шагов подряд. В первом случае используют правило сложения, во втором — правило умножения. Если задача сочетает альтернативные пути и этапы, применяют оба правила. Схема или таблица помогает не пропустить варианты и не посчитать их дважды.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Комбинаторная задача — задача о подсчёте числа возможных вариантов выбора или составления. Например, можно выяснять, сколько комплектов одежды получится из имеющихся предметов или сколькими маршрутами можно добраться до нужного места. Такие задачи нужны, чтобы узнать общее количество вариантов, не перечисляя каждый из них по отдельности. Для решения важно внимательно определить, что именно считается одним вариантом.
Правило сложения — способ подсчёта вариантов, когда нужно выбрать один из нескольких взаимоисключающих вариантов действий. Взаимоисключающими называют такие варианты, из которых в одном решении выбирают только один: например, напиток может быть чаем или соком. Если в одной группе m вариантов, а в другой n и группы не пересекаются, всего вариантов m + n. Это правило помогает объединять отдельные группы, не считая один и тот же вариант дважды.
Правило умножения — способ подсчёта вариантов последовательного выбора, когда каждый вариант одного шага можно сочетать с вариантами следующего. Если первый выбор можно сделать m способами, а второй — n способами для каждого результата первого, получается m · n сочетаний. Например, к каждой рубашке можно подобрать любой из галстуков. Правило удобно, когда один вариант складывается из нескольких выбранных частей.
Сначала выясняют, выбираются ли действия поочерёдно или нужно выбрать одно из нескольких. Это различие определяет подсчёт: при выборе одного варианта из разных групп варианты не соединяются друг с другом, а при последовательных шагах складываются в сочетания. Например, напиток выбирают между чаем и соком, но комплект одежды составляют из рубашки и галстука. Если не разобрать структуру условия, легко применить неподходящее правило.
Правило сложения следует из того, что все возможные варианты можно разделить на непересекающиеся группы. Если человек выбирает чай, его выбор не относится к группе соков, поэтому каждый вариант учитывается ровно один раз. Тогда общее число вариантов равно сумме количеств в группах. Если же группы пересекаются, простое сложение может привести к повторному подсчёту общих вариантов.
Правило умножения возникает при последовательном выборе: для каждого результата первого шага рассматривают все допустимые результаты второго. Если первый шаг можно выполнить несколькими способами, и после каждого из них доступны одинаковые варианты второго шага, количество сочетаний получается умножением. Например, каждую из трёх рубашек можно сочетать с любым из двух галстуков. Поэтому считают не только предметы на каждом шаге, но и все пары, которые из них образуются.
Чтобы перечисление было полным и без повторов, можно нарисовать схему ветвлений или составить таблицу. В схеме от каждого варианта первого шага проводят ветви ко всем вариантам следующего; в таблице каждому сочетанию отводят отдельную клетку. Затем удобно проверить, что у каждого исходного варианта учтены все продолжения. Для маленьких чисел такая проверка позволяет сравнить полный список с вычисленным результатом.
Выбирая правило, сначала определи связь действий: «или» обычно указывает на альтернативы, а «и», «затем» — на последовательные шаги, но одного слова недостаточно, нужно проверить смысл условия. Для альтернативных непересекающихся групп складывают числа вариантов, для последовательных выборов перемножают. Если задача составная, считают каждый путь по шагам, а затем объединяют альтернативные пути. Итог удобно записать выражением, чтобы было видно, какие действия и почему выполнены.
Используй таблицу как подсказку: сначала отнеси задачу к подходящей ситуации, а затем проверь, действительно ли выбор устроен именно так. Если условие сочетает этапы и альтернативы, применяй оба правила в нужном порядке. Пример в последнем столбце показывает общий способ рассуждения, а не отдельное новое правило.
| Ситуация | Что происходит с выбором | Как считать | Пример |
|---|---|---|---|
| Выбирают один вариант из взаимоисключающих групп | Нужно выбрать один вариант, например чай или сок | Сложить числа вариантов в группах | 4 вида чая и 3 вида сока: 4 + 3 = 7 напитков |
| Выполняют несколько последовательных выборов | Результаты шагов соединяются в один комплект | Перемножить числа вариантов шагов | 3 рубашки и 2 галстука: 3 · 2 = 6 комплектов |
| Составная задача с этапами и альтернативами | Внутри каждого пути есть шаги, а сами пути альтернативны | Перемножить варианты этапов каждого пути, затем сложить результаты | Путь через B: 3 · 2, через D: 2 · 4; всего 3 · 2 + 2 · 4 = 14 маршрутов |
В кафе можно выбрать один из 4 видов чая или один из 3 видов сока. Сколько вариантов напитка есть? Нужно понять, выбирает ли посетитель напиток на нескольких шагах или только один из предложенных вариантов. Он берёт чай либо сок, значит, эти группы выступают альтернативами.
Мы сложили количества, потому что за один раз выбирают только один напиток. Ответ: 7 вариантов напитка.
Для школьной формы выбирают одну из 3 рубашек и один из 2 галстуков. Сколько комплектов можно составить? Комплект включает оба предмета, то есть выбор состоит из двух последовательных шагов. К каждой выбранной рубашке можно подобрать любой из двух галстуков.
Здесь сложение не подходит: рубашка и галстук не заменяют друг друга, а вместе образуют комплект. Ответ: 6 комплектов.
Из города A в город C можно добраться через B или через D. До B ведут 3 дороги, из B в C — 2; до D ведут 2 дороги, из D в C — 4. Сколько маршрутов из A в C? Сначала отдельно подсчитаем варианты для каждого пути, потому что внутри пути нужно выбрать дорогу до промежуточного города и дорогу до C. Затем объединим маршруты через B и через D.
Сначала применили правило умножения к этапам каждого маршрута, потом правило сложения к двум возможным направлениям. Ответ: 14 маршрутов.
Ошибка: применить умножение вместо сложения, не различив последовательные выборы и альтернативы. Её допускают, если ориентируются только на числа, а не на смысл условия: например, умножают количество видов чая на количество видов сока, хотя выбирают один напиток. Проверь себя вопросом: нужно взять предмет из каждой группы или выбрать только одну группу? Если достаточно одного варианта, а группы не пересекаются, их количества складывают.
Ошибка: складывать количества вариантов последовательных действий, хотя каждый выбор можно сочетать с каждым. Например, при выборе рубашки и галстука сумма 3 + 2 не показывает число комплектов. Чтобы проверить себя, возьми один результат первого шага и посмотри, сколько продолжений ему доступно. Если каждый из трёх вариантов сочетается с каждым из двух, нужно умножать.
Ошибка: посчитать варианты несколько раз, потому что альтернативные группы не разделены на взаимоисключающие. Это происходит, когда один и тот же результат подходит сразу к двум группам и попадает в подсчёт повторно. Проверь, может ли один вариант одновременно относиться к разным группам. Если да, уточни классификацию или перечисли варианты по одному, чтобы обнаружить пересечения.
Ошибка: перечислить только очевидные варианты и пропустить сочетания. Такое часто случается, когда в задаче несколько шагов и ученик записывает лишь часть пар или маршрутов. Составь схему ветвлений или таблицу и для каждого варианта первого шага перечисли все продолжения. В конце сравни число записей с результатом подсчёта: совпадение помогает проверить полноту списка.
Для комбинаторных задач нужны обычные арифметические действия и умение читать условие, выделяя в нём шаги и альтернативы. Способы подсчёта применяются при изучении вероятности и статистики: чтобы оценивать шанс события, часто сначала находят общее число возможных исходов. Те же правила помогают считать маршруты, коды и сочетания предметов. Поэтому важно не только выполнить вычисления, но и правильно описать, из чего состоит один вариант.
Как понять, складывать или перемножать числа вариантов?
Если выбирают один вариант из нескольких взаимоисключающих групп, числа вариантов складывают. Если нужно выполнить несколько последовательных выборов и каждый вариант первого шага сочетается с вариантами следующего, числа перемножают. Сначала разберись, как устроен выбор, а затем считай.
Можно ли применить оба правила в одной задаче?
Да, если задача состоит из нескольких этапов и при этом предлагает альтернативные пути или способы. Для последовательных шагов внутри каждого пути перемножают числа вариантов, а результаты для взаимоисключающих путей складывают.
Что значит, что варианты взаимоисключающие?
Это значит, что в одном решении выбирают только один из них: например, чай или сок, но не оба напитка сразу. Если группы не пересекаются, каждый вариант относится только к одной группе, поэтому их количества можно сложить.
Как проверить, что все варианты перечислены?
Разбей выбор на шаги или группы и проверь каждую из них отдельно. Для небольшого числа вариантов составь таблицу или схему, а затем убедись, что в ней нет пропусков и повторов.
Зачем составлять таблицу или схему вариантов?
Таблица или схема наглядно показывает, с чем сочетается каждый выбор. С ней проще увидеть пропущенные сочетания и обнаружить варианты, которые посчитаны дважды. Особенно полезно это при нескольких этапах выбора.
§ 18. Комбинаторные задачи
