"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Вероятность события можно оценить, многократно повторяя опыт и подсчитывая, как часто событие происходит. Для этого число его появлений делят на общее число испытаний и получают относительную частоту. В короткой серии она может сильно меняться, но при большом числе испытаний обычно становится устойчивее. Такая оценка помогает анализировать случайные события и примерно предсказывать число их появлений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайное событие — событие, которое при проведении опыта может произойти или не произойти. Например, при броске монеты выпадение орла возможно, но заранее неизвестно. Это понятие нужно, чтобы обозначать результат, частоту которого мы собираемся изучать.
Относительная частота события — отношение числа появлений события к общему числу проведённых испытаний. Если событие произошло m раз за n испытаний, его частота равна m/n. Она показывает, какую долю опытов составили появления события, поэтому позволяет сравнивать серии разной длины.
Вероятность события — числовая характеристика возможности его наступления, которую при большом числе испытаний можно оценить по относительной частоте. Например, вероятность помогает описать, насколько ожидаемо выпадение определённой грани. Экспериментальная частота служит для её оценки, когда точное значение неизвестно или проверяется опытом.
Статистическая устойчивость — свойство относительной частоты приближаться к определённому числу при увеличении количества испытаний. Это не означает, что частота перестанет меняться: она может колебаться, но обычно изменения становятся менее заметными. Понятие объясняет, почему длинная серия опытов полезнее для оценки вероятности.
Эксперимент обычно состоит из повторяющихся испытаний: например, монету бросают несколько раз, каждый раз записывая результат. Затем отмечают, произошло ли выбранное событие в каждом испытании, и подсчитывают его появления. Такая фиксация нужна, чтобы вывод опирался на все результаты, а не на память или впечатление от опыта.
Относительная частота — это доля успешных для события испытаний среди всех проведённых, поэтому число появлений делят на общее число испытаний. Если событие случилось m раз из n, получается m/n; числитель показывает число появлений, а знаменатель — размер всей серии. Эту же долю можно представить десятичной дробью или умножить на 100%, чтобы получить процент.
При малом числе испытаний отдельные результаты сильно влияют на долю. Если орёл выпал один раз из двух бросков, частота равна 1/2, а ещё один бросок может заметно её изменить. В длинной серии один новый результат составляет меньшую часть всех испытаний, поэтому частота обычно колеблется слабее и проявляется статистическая устойчивость.
По эксперименту вероятность оценивают, принимая относительную частоту за приближённое значение: P(A) ≈ m/n. Оценка приближённая, потому что конкретный опыт случаен и его результаты не обязаны точно совпадать с ожидаемой долей. Чем больше испытаний и чем аккуратнее проведён опыт, тем полезнее такая оценка, но абсолютного совпадения она не обещает.
Если вероятность события равна P(A), то за n испытаний ожидают примерно P(A) · n его появлений. Это следует из того, что вероятность задаёт ожидаемую долю, а число появлений получается умножением этой доли на весь объём серии. Речь идёт о прогнозе, а не о точном обещании: фактическое число может быть как больше, так и меньше.
| Характеристика | Что означает | Как вычисляется или определяется |
|---|---|---|
| Число испытаний | Сколько раз проведён опыт | Обозначается n |
| Число появлений события | Сколько испытаний завершились наступлением события | Обозначается m |
| Относительная частота | Доля испытаний, в которых произошло событие | m/n |
| Процентная запись частоты | Та же доля, выраженная в процентах | (m/n) · 100% |
| Экспериментальная оценка вероятности | Приближённое значение вероятности по данным большого числа испытаний | P(A) ≈ m/n |
Сначала определи, что именно считается событием, затем найди общее число испытаний n и число появлений m. Для относительной частоты раздели m на n, а для процента умножь результат на 100%. Если нужно оценить вероятность, помни, что это приближение, особенно при короткой серии.
Обозначим событие A: выпал орёл. Всего проведено n = 80 испытаний, а появлений события m = 43, поэтому для частоты используем отношение m/n.
Подставим числа: 43/80 = 0,5375. Это относительная частота в виде десятичной дроби; она показывает долю бросков, в которых выпал орёл.
Чтобы перевести долю в проценты, умножим её на 100: 0,5375 · 100% = 53,75%. Здесь нужно именно умножение, потому что процентная запись показывает количество сотых долей.
Ответ: относительная частота равна 43/80 = 0,5375, или 53,75%.
Событие A — выпадение шестёрки; число испытаний n = 200, число появлений m = 31. Экспериментальную оценку вероятности найдём как относительную частоту: 31/200 = 0,155.
Значит, по результатам серии вероятность оценивается примерно числом 0,155, или 15,5%. Это не точное значение, а вывод по проведённым броскам.
Для 1000 бросков умножим оценку вероятности на число испытаний: 0,155 · 1000 = 155. Полученное число — прогноз среднего ожидаемого количества, а не гарантия результата конкретной серии.
Ответ: вероятность оценивается примерно как 0,155; при 1000 бросках ожидается около 155 шестёрок.
Для первой серии частота равна 18/50 = 0,36, то есть 36%. Для второй серии получаем 73/200 = 0,365, или 36,5%.
Оценки близки: разница составляет 0,005, то есть половину процентного пункта. Сравнивать только числа 18 и 73 было бы неверно, ведь серии содержат разное количество испытаний.
Во второй серии испытаний больше, поэтому её частота обычно устойчивее: отдельный результат влияет на долю меньше. Это не делает оценку безошибочной, но при прочих равных даёт больше оснований считать её надёжной.
Ответ: оценки равны 36% и 36,5%; надёжнее обычно оценка по второй серии из 200 испытаний.
Иногда делят общее число испытаний на число появлений события, получая n/m вместо m/n. Ошибка возникает из-за путаницы между числителем и знаменателем, хотя доля появлений должна быть частью от целого. Проверь себя: число появлений не может превышать общее число испытаний, а частота должна лежать от 0 до 1.
Другая ошибка — считать относительную частоту точной вероятностью. Частота описывает уже проведённую серию, и случайные результаты могут отклонить её от вероятности. Чтобы проверить формулировку, используй слова «оценка» или «примерно», если вероятность определена по экспериментальным данным.
При сравнении серий иногда смотрят только на количество появлений, не учитывая общий объём испытаний. Например, 20 появлений из 40 и 30 из 100 — это разные доли, хотя во втором случае появлений больше. Раздели число появлений на число испытаний в каждой серии и только потом сравнивай частоты.
Ещё одна ошибка — ожидать, что после нескольких опытов частота обязательно окажется близкой к теоретической вероятности. В короткой серии случайные отклонения могут быть большими, поэтому такой результат не опровергает теорию. Проверь себя: учти размер серии и не делай уверенный вывод по малому числу испытаний.
Для вычислений здесь нужны умения работать с дробями, отношениями, процентами и округлением чисел. Относительная частота связывает данные опыта с вероятностью, поэтому она подготавливает к классическому определению вероятности и формулам сложения и умножения вероятностей. В статистике и обработке наблюдений этот же подход помогает анализировать реальные данные и оценивать доли событий по измерениям.
Почему относительная частота после первых нескольких испытаний может сильно отличаться от вероятности?
В короткой серии каждый результат заметно влияет на общую долю появлений события. Например, один дополнительный успех при пяти испытаниях меняет частоту сильнее, чем при тысяче испытаний. Поэтому первые результаты могут быть случайным отклонением.
Чем относительная частота отличается от вероятности события?
Относительная частота вычисляется по результатам уже проведённого опыта: это доля испытаний, в которых событие произошло. Вероятность характеризует возможность события и не зависит от конкретной серии наблюдений. Частоту используют как приближённую экспериментальную оценку вероятности.
Почему для оценки вероятности нужно проводить много испытаний?
При большом числе повторений отдельные случайные отклонения влияют на общую долю меньше. Поэтому относительная частота обычно колеблется слабее и становится устойчивее. Это не гарантирует полного совпадения с вероятностью, но делает оценку надёжнее.
Как по относительной частоте спрогнозировать число появлений события?
Относительную частоту принимают за приближённую вероятность и умножают её на предполагаемое число испытаний. Например, при оценке вероятности 0,3 за 1000 испытаний ожидают примерно 0,3 · 1000 = 300 появлений. Фактическое число может отличаться.
Можно ли по одному эксперименту точно определить вероятность события?
Нет, одна серия даёт только экспериментальную оценку, а не точное значение вероятности. Даже большая серия может дать результат, немного отличающийся от вероятности. Для более надёжного вывода проводят много испытаний или используют теоретические сведения об опыте.
§ 21. Экспериментальные данные и вероятности событий
