"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Квадратные уравнения и функции, арифметические и геометрические прогрессии помогают описывать зависимости и решать практические задачи. Для уравнения важно уметь вычислять дискриминант и находить корни, а для функции — понимать, как коэффициенты влияют на параболу. Прогрессии узнают по постоянной разности или отношению соседних членов. Формулы n-го члена позволяют быстро найти нужный элемент, а проверка ответа помогает убедиться, что математическая модель подходит условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Коэффициенты a, b и c влияют на форму и расположение её графика, а сам график является параболой. Это понятие нужно, чтобы описывать зависимости, в которых переменная встречается во второй степени, и исследовать их с помощью графика.
Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Его корнями называют значения x, при которых равенство верно. Найти корни можно разными способами, в частности, вычислив дискриминант; это позволяет узнать, сколько решений имеет уравнение.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой разность каждого следующего и предыдущего членов постоянна; эту разность обозначают d. Формула n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Она помогает находить член с любым номером, не выписывая всю последовательность.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой отношение следующего члена к предыдущему постоянно; его называют знаменателем прогрессии и обозначают q. Формула n-го члена: bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Она нужна, когда величина каждый раз изменяется в одно и то же число раз, например удваивается.
Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 сначала вычисляют дискриминант D = b² − 4ac. Он показывает, может ли квадратный трёхчлен обратиться в ноль: при D > 0 получаются два корня, при D = 0 корни совпадают, а при D < 0 действительных корней нет. Если D ≥ 0, корни находят по формуле x = (−b ± √D)/(2a). Так знак дискриминанта заранее подсказывает, сколько решений следует ожидать.
Коэффициент a в квадратичной функции определяет направление ветвей: при положительном a они направлены вверх, при отрицательном — вниз. Абсцисса вершины равна −b/(2a), потому что в этой точке график меняет направление изменения; ординату находят подстановкой абсциссы в формулу функции. Поэтому коэффициенты позволяют определить положение вершины и общий вид графика без построения множества точек. Нули функции — значения x, при которых y = 0, — находят решением соответствующего квадратного уравнения.
В арифметической прогрессии переход от одного члена к следующему каждый раз прибавляет одно и то же число d. Поэтому последовательность можно записать как a₁, a₁ + d, a₁ + 2d и далее, откуда следует формула aₙ = a₁ + (n − 1)d. В геометрической прогрессии каждый переход умножает предыдущий член на одно и то же число q. Отсюда возникают члены b₁, b₁q, b₁q² и формула bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
Формула n-го члена связывает номер элемента с его значением напрямую. Если известны начальный член и разность или знаменатель, можно сразу вычислить, например, сотый член, не находя первые девяносто девять. Когда начальный член неизвестен, но даны другие члены, сначала составляют равенства с общей формулой и находят недостающие параметры. Затем результат подставляют в формулу для нужного номера.
В текстовой задаче сначала выделяют известные величины и то, что требуется найти. Если неизвестные связаны квадратной зависимостью, составляют уравнение или функцию; если значения образуют последовательность с постоянным шагом либо множителем — используют прогрессию. После вычислений проверяют не только алгебраические действия, но и смысл результата: например, длина не может быть отрицательной, а число предметов должно быть целым. Такая проверка отсеивает ответы, которые формально получены, но не подходят условию.
| Понятие | Основной признак или формула | Что позволяет найти |
|---|---|---|
| Квадратное уравнение | ax² + bx + c = 0; D = b² − 4ac | Число действительных корней и их значения |
| Дискриминант | D = b² − 4ac | Два корня при D > 0, один при D = 0, отсутствие действительных корней при D < 0 |
| Квадратичная функция | y = ax² + bx + c; x₀ = −b/(2a) | График-параболу, положение вершины и нули функции |
| Арифметическая прогрессия | aₙ = a₁ + (n − 1)d | Член последовательности при постоянной разности d |
| Геометрическая прогрессия | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ | Член последовательности при постоянном отношении q |
Сначала определите, какое понятие описывает условие: квадратное уравнение, функция или прогрессия. Затем выберите формулу, которая связывает известные данные с искомой величиной. После вычислений проверьте, соответствует ли ответ условию задачи.
Задача 1. Решите уравнение x² − 5x + 6 = 0. Нужно определить коэффициенты, применить дискриминант и проверить найденные значения подстановкой. Проверка нужна, чтобы убедиться, что вычисленные числа действительно обращают исходный трёхчлен в ноль.
Ответ: 2 и 3.
Задача 2. Найдите координаты вершины и нули функции y = x² − 4x + 3. Нули найдём из уравнения y = 0, а вершину — по формуле абсциссы и подстановке в функцию. Сравнение корней с координатой вершины поможет проверить, верно ли расположены найденные значения на параболе.
Ответ: вершина (2; −1), нули функции 1 и 3.
Задача 3. В арифметической прогрессии a₃ = 7 и a₈ = 22. Найдите a₁₅. Разность определим по тому, на сколько изменился член за пять шагов: от третьего до восьмого. Затем используем формулу n-го члена, чтобы сразу перейти к пятнадцатому.
Ответ: a₁₅ = 43.
При вычислении дискриминанта иногда забывают возвести b в квадрат или теряют знак c в выражении D = b² − 4ac. Это случается, когда подставляют отрицательные коэффициенты без скобок или спешат с умножением. Запишите подстановку целиком, например (−5)², а затем отдельно проверьте знак каждого слагаемого. Полученное число также должно согласовываться с числом корней, найденных далее.
В формуле вершины иногда пишут x₀ = b/(2a), забывая минус перед b. Ошибку легко допустить, потому что знак коэффициента b и знак в формуле могут одновременно быть отрицательными. Перед вычислением запишите формулу x₀ = −b/(2a) и подставьте b в скобках. Проверить результат можно, заметив, что вершина параболы лежит посередине между её нулями, если они есть.
Разность арифметической прогрессии иногда принимают за отношение и применяют формулу геометрической. Это происходит, когда обе прогрессии рассматривают просто как последовательности чисел. Проверьте условие: постоянная прибавка означает арифметическую прогрессию, постоянное умножение — геометрическую. Для первых членов посчитайте отдельно разности и отношения соседних элементов.
После решения уравнения можно забыть проверить, подходят ли найденные значения задаче. Алгебраическое уравнение иногда даёт корень, который противоречит смыслу условия, например отрицательную длину. Подставьте значения в исходное уравнение, а затем сравните их с ограничениями задачи и сформулируйте ответ словами. Если часть корней не подходит по смыслу, её нельзя включать в ответ.
Для работы с квадратными уравнениями и функциями нужны свойства степеней и корней, преобразование выражений, разложение многочленов на множители и решение линейных уравнений. Квадратичные модели применяются при решении неравенств и исследовании графиков. Прогрессии продолжают изучение последовательностей и помогают описывать повторяющиеся изменения, в том числе в финансовых расчётах. Во всех этих темах важно уметь переводить условие в математическую запись и проверять результат.
Как по дискриминанту понять, сколько корней имеет квадратное уравнение?
Для уравнения ax² + bx + c = 0 вычисляют D = b² − 4ac. Если D > 0, есть два различных действительных корня; если D = 0 — один корень, а если D < 0 — действительных корней нет.
Как определить направление ветвей параболы?
Посмотрите на коэффициент a в формуле y = ax² + bx + c. Если a > 0, ветви параболы направлены вверх, если a < 0 — вниз.
Как найти вершину квадратичной функции?
Для y = ax² + bx + c абсцисса вершины равна x₀ = −b/(2a). Затем подставьте x₀ в формулу функции и найдите y₀; вершина имеет координаты (x₀; y₀).
Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?
В арифметической прогрессии постоянна разность соседних членов: aₙ₊₁ − aₙ = d. В геометрической постоянным является отношение соседних членов: bₙ₊₁/bₙ = q, если знаменатель не равен нулю.
Как найти член прогрессии, если известны не первые несколько членов?
Используйте формулу n-го члена, а не перебирайте предыдущие значения. Для арифметической прогрессии это aₙ = a₁ + (n − 1)d, для геометрической — bₙ = b₁qⁿ⁻¹; недостающие параметры можно найти из известных членов.
Основные результаты
