"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Квадратные уравнения, квадратичные функции и прогрессии — важные модели, которые помогают решать вычислительные и текстовые задачи. Дискриминант показывает число действительных корней уравнения, коэффициенты задают вид параболы, а формулы прогрессий позволяют быстро находить её члены и сумму. Эти результаты нужны для исследования графиков, решения неравенств и дальнейшего изучения алгебры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Число D = b² − 4ac называют дискриминантом. По его знаку определяют число действительных корней, поэтому не всегда нужно сразу выполнять полное решение.
Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Её график — парабола, то есть симметричная кривая с вершиной. Коэффициенты помогают определить направление ветвей, положение вершины и точки пересечения с осью Ox.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой разность соседних членов постоянна; её обозначают буквой d. Поэтому каждый следующий член получают прибавлением одного и того же числа. Это позволяет выразить любой член через первый и номер n.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой отношение соседних членов постоянно; его обозначают q. Следующий член получают умножением предыдущего на q. Такое правило удобно для описания последовательного увеличения или уменьшения величины.
Для квадратного уравнения сначала находят D = b² − 4ac, потому что дискриминант показывает, может ли выражение под корнем быть неотрицательным. Если D > 0, корень √D существует и даёт два разных значения x = (−b ± √D)/(2a). При D = 0 оба значения совпадают, а при D < 0 действительных корней нет.
В квадратичной функции знак коэффициента a определяет направление ветвей: при a > 0 парабола открыта вверх, а при a < 0 — вниз. Координату вершины находят по формуле x₀ = −b/(2a), затем вычисляют y₀ = f(x₀). Нули функции получают решением уравнения ax² + bx + c = 0, поэтому они являются абсциссами точек пересечения с осью Ox.
Формула n-го члена прогрессии заменяет последовательный перебор: достаточно знать первый член, номер и постоянную разность или отношение. Для арифметической прогрессии aₙ = a₁ + (n − 1)d, а для геометрической bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Формулы сумм также объединяют все первые n членов, поэтому не приходится складывать их по одному.
Текстовую задачу начинают с обозначения неизвестных и перевода условия на язык величин. Связи между ними записывают уравнением или системой, решают и затем проверяют найденные значения в исходных отношениях. Проверка особенно важна: отрицательная длина, неподходящий возраст или нарушенное ограничение не являются допустимым ответом.
При решении неравенств сначала учитывают область допустимых значений: нельзя делить на ноль, извлекать корень из отрицательного выражения или использовать недопустимое значение знаменателя. Равносильные преобразования сохраняют множество решений, но умножение или деление на отрицательное число меняет знак неравенства. После решения полезно подставить контрольное число из найденного промежутка.
| Объект | Основной результат | Что позволяет найти |
|---|---|---|
| Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 | D = b² − 4ac | Число действительных корней и сами корни |
| Квадратичная функция y = ax² + bx + c | x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀) | Вершину и положение параболы |
| Арифметическая прогрессия | aₙ = a₁ + (n − 1)d | Любой член последовательности |
| Сумма арифметической прогрессии | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 | Сумму первых n членов |
| Геометрическая прогрессия | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ | Любой член последовательности |
| Сумма геометрической прогрессии при q ≠ 1 | Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) | Сумму первых n членов |
Сначала определите, к какому объекту относится условие, а затем выберите соответствующую строку. В формулах прогрессий особенно внимательно следите за показателем n − 1 и за значением q: формула суммы геометрической прогрессии в указанном виде требует q ≠ 1.
Решим уравнение 2x² − 5x + 2 = 0 и заранее определим число корней. Здесь a = 2, b = −5, c = 2, поэтому знак дискриминанта сразу даст нужный прогноз.
Ответ: два корня: x₁ = 2 и x₂ = ½.
Исследуем функцию y = x² − 4x + 3: найдём вершину и нули, чтобы описать график. Удобно выделить полный квадрат, так как этот вид сразу показывает положение параболы.
Ответ: вершина (2; −1), нули 1 и 3; парабола открыта вверх и пересекает ось Ox в точках (1; 0) и (3; 0).
В арифметической прогрессии a₃ = 8, a₇ = 20. Нужно найти a₁ и сумму первых десяти членов, поэтому составим равенства по формуле общего члена, а не будем восстанавливать все элементы по очереди.
Ответ: a₁ = 2, S₁₀ = 155.
Ошибка — считать, что при D < 0 квадратное уравнение всё равно имеет действительные корни. Под корнем в формуле получится отрицательное число, а действительного значения √D нет. Перед вычислением корней всегда определяйте знак D.
Иногда коэффициент b путают с координатой вершины. Абсцисса вершины равна не b, а x₀ = −b/(2a), потому что она получается из условия симметрии параболы. Подставьте найденное значение в функцию и получите вторую координату.
При записи члена прогрессии вместо n − 1 иногда используют n. Из-за этого уже первый член формулы превращается в a₁ + d или b₁q, что неверно. Проверяйте формулу на n = 1: она должна давать ровно a₁ или b₁.
При умножении или делении неравенства на отрицательное число некоторые забывают поменять знак. Причина ошибки — механическое выполнение действия без учёта порядка чисел. Отдельно отметьте знак множителя и после преобразования замените < и > на противоположные.
Для работы с этими результатами нужны действия с многочленами, разложение на множители, формулы сокращённого умножения и решение линейных уравнений. Они помогают вычислять дискриминант, преобразовывать функцию и решать уравнения прогрессий.
Знания применяются при решении текстовых задач и исследовании графиков функций. В старших классах они становятся основой для изучения более сложных уравнений, неравенств и математических моделей.
Как быстро понять, сколько корней у квадратного уравнения?
Вычислите дискриминант D = b² − 4ac. При D > 0 есть два корня, при D = 0 — один, а при D < 0 действительных корней нет.
Как найти вершину параболы по формуле функции?
Для функции y = ax² + bx + c сначала найдите x₀ = −b/(2a). Затем вычислите y₀ = f(x₀); точка (x₀; y₀) — вершина параболы.
Чем отличаются арифметическая и геометрическая прогрессии?
В арифметической прогрессии соседние члены отличаются на одно и то же число d. В геометрической прогрессии отношение соседних членов постоянно и равно q.
Как выбрать формулу суммы прогрессии?
Для арифметической прогрессии используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Для геометрической при q ≠ 1 подходит формула Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
Почему при умножении неравенства на отрицательное число знак меняется?
Умножение на отрицательное число меняет порядок чисел на числовой прямой. Поэтому знаки < и >, а также ≤ и ≥ нужно заменять на противоположные.
Основные результаты
