Основные результаты

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Буквы a, b и c называют коэффициентами: a стоит при x², b — при x, а c является свободным членом. Корнями называют значения x, при которых равенство становится верным; их поиск составляет основную задачу при решении такого уравнения.

Дискриминант — выражение D = b² − 4ac. По его значению можно заранее определить, сколько у уравнения действительных корней, то есть корней, являющихся числами на числовой прямой. Это помогает выбрать нужный способ решения и не искать корни там, где их нет.

Теорема Виета связывает корни приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 с его коэффициентами: сумма корней равна −p, а произведение — q. Благодаря этой связи иногда можно подобрать корни без вычисления дискриминанта. Теорема также помогает быстро проверить найденную пару чисел.

Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Её график называется параболой. По формуле и графику можно находить нули функции, исследовать её знак и видеть, как меняется значение y при изменении x.

Как это устроено

Чтобы решить квадратное уравнение, сначала записывают его в общем виде ax² + bx + c = 0. Для этого раскрывают скобки, переносят все слагаемые в одну часть и приводят подобные, то есть складывают слагаемые с одинаковой буквенной частью. После этого коэффициенты считывают по местам: например, в 3x² − 2x + 5 = 0 имеем a = 3, b = −2, c = 5. Если какого-либо слагаемого нет, его коэффициент равен нулю.

Дискриминант появляется при выводе формулы решения квадратного уравнения: под корнем оказывается выражение b² − 4ac. Поэтому его знак определяет, имеет ли формула действительные значения. Если D > 0, квадратный корень из D ненулевой и формула даёт два разных корня; если D = 0, оба значения совпадают. При D < 0 действительного квадратного корня из D нет, поэтому действительных корней уравнение не имеет.

Когда D ≥ 0, корни вычисляют по формуле x = (−b ± √D)/(2a). Знак ± даёт два варианта: один со сложением, другой с вычитанием; при D = 0 варианты совпадают. Деление на 2a нужно потому, что коэффициент при x² не обязательно равен единице. Для приведённого уравнения a = 1, и теорема Виета говорит, что корни должны иметь сумму −p и произведение q: это позволяет подобрать их или проверить ответ.

У параболы положение вершины связано с тем, где функция перестаёт убывать и начинает возрастать или наоборот. Абсцисса вершины равна x₀ = −b/(2a), а её ординату находят подстановкой x₀ в выражение ax² + bx + c. Коэффициент a задаёт направление ветвей: при a > 0 они направлены вверх, при a < 0 — вниз. Чем дальше коэффициенты сдвигают вершину от начала координат, тем в другом месте расположена парабола.

Нули квадратичной функции — значения x, при которых y = 0; поэтому их находят, решая уравнение ax² + bx + c = 0. В точках нулей парабола пересекает или касается оси x, а между этими точками её положение относительно оси не меняется: график не может перейти с одной стороны оси на другую, не пересекая её. Значит, по графику можно определить знак функции на каждом промежутке. Для точного ответа учитывают и направление ветвей, и положение нулей.

Основные результаты о квадратном уравнении и квадратичной функции

Пользуйтесь таблицей как кратким планом: сначала определите вид задачи, затем выберите подходящий результат. Для уравнения удобно начать с коэффициентов и дискриминанта, а для исследования функции — с нулей, вершины и знака a. Ответ можно дополнительно проверить подстановкой или сравнением с графиком.

Разбор задач

Решить уравнение x² − 5x + 6 = 0

Уравнение приведённое, поэтому можно попробовать применить теорему Виета. Нужно найти два числа с произведением 6 и суммой 5: такие числа — 2 и 3. Поскольку коэффициент при x равен −5, сумма корней должна быть 5, что совпадает с подбором.

1. Запишем коэффициенты: p = −5, q = 6.
2. По Виету ищем числа с суммой −p = 5 и произведением q = 6.
3. Подходят числа 2 и 3, поэтому x₁ = 2, x₂ = 3.
4. Проверим: 2² − 5 · 2 + 6 = 0 и 3² − 5 · 3 + 6 = 0.

Ответ: 2 и 3. Проверка подстановкой показывает, что оба значения обращают левую часть в ноль. Если подобрать числа трудно, то же уравнение можно решить через дискриминант.

Решить уравнение 2x² + x − 3 = 0

Уравнение не приведённое, поэтому при применении формулы важно сохранить коэффициент a = 2 в знаменателе. Сначала выясним число корней через дискриминант, а затем подставим его в формулу. Здесь D окажется положительным, значит, будут два различных корня.

1. Определим коэффициенты: a = 2, b = 1, c = −3.
2. Вычислим D = 1² − 4 · 2 · (−3) = 25.
3. Найдём корни: x = (−1 ± √25)/(2 · 2) = (−1 ± 5)/4.
4. Получим x₁ = 1 и x₂ = −3/2. Подстановка каждого значения в исходное уравнение даёт ноль.

Ответ: 1 и −3/2. Знак c учтён в произведении 4ac: поскольку c отрицательно, при вычитании отрицательного числа дискриминант увеличивается. Проверка помогает заметить возможную ошибку в знаке или делении.

Для функции y = x² − 4x + 3 найти нули, вершину и промежутки, где y < 0

Нули функции — корни уравнения x² − 4x + 3 = 0. Их удобно найти разложением на множители: нужны числа с произведением 3 и суммой 4, это 1 и 3. Коэффициент a положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх, а между двумя нулями график окажется ниже оси x.

1. Разложим трёхчлен: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). Нули: x = 1 и x = 3.
2. Найдём абсциссу вершины: x₀ = −(−4)/(2 · 1) = 2.
3. Подставим x₀: y₀ = 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Вершина имеет координаты (2; −1).
4. Парабола направлена вверх и пересекает ось x в точках 1 и 3, значит, ниже оси она расположена между ними.

Ответ: нули — 1 и 3, вершина — (2; −1), y < 0 при 1 < x < 3. Разложение показывает места пересечения с осью, а вершина подтверждает, что между ними график находится ниже оси x.

Типичные ошибки

При вычислении дискриминанта иногда забывают возвести b в квадрат или неверно учитывают знак c в выражении −4ac. Ошибка возникает из-за спешки при подстановке отрицательного коэффициента. Запишите D = b² − 4ac целиком, заключите отрицательные коэффициенты в скобки и проверьте каждое действие отдельно.

В формуле корней можно потерять минус перед b или забыть разделить всю числитель на 2a. Это случается, когда формулу вспоминают по частям, а не записывают полностью. Перед вычислением подставьте коэффициенты в x = (−b ± √D)/(2a), а после — проверьте корни подстановкой в уравнение.

Теорему Виета применяют к неприведённому уравнению, будто коэффициент при x² равен единице. Тогда сумма и произведение корней будут вычислены неверно, поскольку для общей формы они зависят от отношений b/a и c/a. Разделите уравнение на a и запишите его как x² + px + q = 0; затем используйте сумму −p и произведение q.

Координаты вершины иногда путают, а знак функции определяют только по направлению ветвей. Направление показывает лишь, куда открывается парабола, но не сообщает, где именно она пересекает ось x. Найдите оба нуля и вершину, отметьте их на числовой прямой и проверьте положение графика на каждом промежутке.

Связь с другими темами

Для преобразования квадратных уравнений нужны разложение многочленов на множители и формулы сокращённого умножения: они помогают приводить выражения к удобному виду и находить корни подбором. Действия с рациональными выражениями пригодятся, если в задаче есть дроби или нужно преобразовать формулу. Позже эти результаты используют при решении квадратных неравенств и исследовании функций. Они также помогают составлять и решать уравнения по условию текстовой задачи.

Что запомнить

• Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.
• Знак дискриминанта определяет число действительных корней.
• Для приведённого уравнения сумма корней равна −p, а произведение — q.
• График квадратичной функции — парабола.
• Знак коэффициента a определяет направление ветвей параболы.
• Нули функции делят числовую прямую на промежутки постоянного знака.