"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Основные результаты курса объединяют важные способы работы с квадратными уравнениями, квадратичными функциями и прогрессиями. Квадратное уравнение решают по дискриминанту, а его корни связывают с пересечениями параболы и оси Ox. Для арифметической и геометрической прогрессий используют формулы n-го члена и суммы первых n членов. Главное — распознать тип задачи, выбрать подходящую формулу, правильно подставить данные и проверить ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Числа a, b и c называют коэффициентами: a стоит при x², b — при x, а c является свободным членом. Его корни зависят от дискриминанта D = b² − 4ac, поэтому по D можно узнать число действительных корней.
Квадратичная функция задаётся формулой y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Её график — парабола, а коэффициенты определяют её вид и положение: знак a задаёт направление ветвей, а его модуль влияет на ширину. Коэффициенты b и c участвуют в смещении графика и помогают находить его пересечения с осями.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают прибавлением одного и того же числа. Это число называют разностью и обозначают d, например aₙ₊₁ = aₙ + d. Понятие нужно, чтобы быстро находить любой член и сумму последовательных чисел.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число q. Число q называют знаменателем прогрессии: bₙ₊₁ = bₙq. Такая модель описывает повторное увеличение или уменьшение величины и позволяет вычислять члены без последовательного перебора.
Для квадратного уравнения сначала находят дискриминант D = b² − 4ac. Он показывает, может ли парабола y = ax² + bx + c пересечь ось Ox: положительный D соответствует двум пересечениям, нулевой — касанию, отрицательный — отсутствию пересечений. Затем при D ≥ 0 используют формулу x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a), а при D = 0 записывают единственный корень x = −b/(2a).
Связь уравнения с графиком следует из условия пересечения с осью Ox. На этой оси координата y равна нулю, поэтому для точки параболы нужно решить ax² + bx + c = 0. Полученные корни становятся абсциссами точек пересечения, то есть координаты имеют вид (x₁; 0) и (x₂; 0), если корней два.
В арифметической прогрессии каждый шаг добавляет одну и ту же разность d. После n − 1 шагов от первого члена добавится (n − 1)d, поэтому aₙ = a₁ + (n − 1)d. Эта формула заменяет длинный перебор: достаточно знать первый член, разность и номер нужного члена.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии находится по формуле Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Она получается попарным сложением последовательности с конца и с начала: каждая пара даёт одну и ту же сумму a₁ + aₙ. Если известен последний член, формула особенно удобна, а его можно предварительно найти по формуле n-го члена.
В геометрической прогрессии каждый переход означает умножение на q, поэтому после n − 1 переходов bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Для суммы Sₙ = b₁ + b₁q + … + b₁qⁿ⁻¹ умножают равенство на q и вычитают исходную сумму: большинство слагаемых сокращается. В результате при q ≠ 1 получают Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), а при q = 1 сумма равна nb₁.
| Тема | Основной результат | Что обозначают величины | Когда применять |
|---|---|---|---|
| Квадратное уравнение | D = b² − 4ac; x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a) | a, b, c — коэффициенты; D — дискриминант; x — корень | Чтобы определить число корней и найти их |
| Квадратичная функция | y = ax² + bx + c; график — парабола | a, b, c — коэффициенты; x — аргумент; y — значение функции | Чтобы исследовать график и его пересечения с осями |
| Арифметическая прогрессия | aₙ = a₁ + (n − 1)d; Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 | a₁ — первый член; aₙ — n-й член; d — разность; Sₙ — сумма | При постоянной разности соседних членов |
| Геометрическая прогрессия | bₙ = b₁qⁿ⁻¹; Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) | b₁ — первый член; bₙ — n-й член; q — знаменатель; Sₙ — сумма | При постоянном отношении соседних членов |
Сначала найдите в условии нужную тему и выпишите все известные величины. Затем выберите строку таблицы: формула n-го члена нужна для одного элемента, а формула Sₙ — для суммы первых n элементов.
В формулах прогрессий проверяйте, что индекс n означает номер члена, а не его значение. Для геометрической суммы отдельно учитывайте случай q = 1, потому что тогда делить на q − 1 нельзя.
Решим уравнение x² − 5x + 6 = 0 и проверим корни. Здесь a = 1, b = −5, c = 6, поэтому уравнение действительно квадратное. Дискриминант подскажет число корней.
Ответ: x₁ = 3, x₂ = 2. Подстановка подтверждает, что оба найденных значения подходят.
Для функции y = x² − 4x + 3 найдём нули и точки пересечения с осью Ox. Нуль функции — значение x, при котором y = 0, поэтому заменяем функцию уравнением x² − 4x + 3 = 0. Полученные корни будут абсциссами искомых точек.
Ответ: нули функции — 1 и 3, а парабола пересекает ось Ox в точках (1; 0) и (3; 0).
Пусть a₁ = 7, d = 3. Требуется найти десятый член и сумму первых десяти членов, поэтому сначала вычислим a₁₀, а затем подставим его в формулу суммы. Номер члена n равен 10, а не 9: девять разностей отделяют первый член от десятого.
Ответ: a₁₀ = 34, S₁₀ = 205. Сначала была найдена отдельная величина, а затем сумма всех десяти членов.
Формулу корней применяют к уравнению, у которого коэффициент при x² равен нулю. Тогда оно уже не квадратное, а линейное, и используется другой способ решения. Перед вычислением проверьте условие a ≠ 0.
Иногда при D = 0 записывают два различных корня. На самом деле знак «плюс-минус» даёт одно и то же значение, поэтому корень единственный: x = −b/(2a). Сверяйте вывод с формулой числа корней.
Разность d арифметической прогрессии путают со знаменателем q геометрической. В первом случае сравнивают разность соседних членов, во втором — их отношение. Для проверки вычислите a₂ − a₁ или b₂ : b₁ и посмотрите, что остаётся постоянным.
Номер члена подставляют в формулу суммы или число членов — в формулу отдельного члена. Обозначение aₙ означает один элемент, а Sₙ — сумму первых n элементов. Перед подстановкой подпишите, что именно требуется найти.
Для работы с квадратными уравнениями нужны действия с многочленами, преобразование выражений и решение линейных уравнений. Эти навыки помогают правильно определить коэффициенты, раскрыть скобки и проверить подстановкой полученный ответ.
Квадратные уравнения и функции применяются при исследовании графиков и решении неравенств. Прогрессии описывают закономерности, последовательные изменения и накопления, поэтому их формулы встречаются в задачах о движении, платежах и росте величин.
Как понять, сколько корней у квадратного уравнения?
Сначала вычисляют дискриминант D = b² − 4ac. При D > 0 есть два различных корня, при D = 0 — один корень, а при D < 0 действительных корней нет.
Почему корни уравнения совпадают с нулями квадратичной функции?
Нуль функции — это такое значение x, при котором y = 0. Поэтому уравнение ax² + bx + c = 0 задаёт те же значения x, при которых парабола пересекает ось Ox.
Как отличить арифметическую прогрессию от геометрической?
В арифметической прогрессии соседние члены отличаются на одно и то же число d. В геометрической прогрессии соседние ненулевые члены имеют одно и то же отношение q.
Какую формулу применять, если нужно найти отдельный член прогрессии?
Для арифметической прогрессии используют aₙ = a₁ + (n − 1)d. Для геометрической прогрессии применяют bₙ = b₁qⁿ⁻¹.
Чем формула n-го члена отличается от формулы суммы?
Формула n-го члена находит один член последовательности с заданным номером. Формула суммы складывает первые n членов и обозначается Sₙ.
Основные результаты
