"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Система уравнений помогает описать ситуацию, в которой несколько неизвестных величин связаны сразу несколькими условиями. Сначала нужно выбрать неизвестные и перевести каждое условие в уравнение, затем решить систему и проверить, подходят ли найденные значения к задаче. Такая математическая модель позволяет находить ответы в задачах о движении, покупках, смесях и других реальных процессах. Главное — не потерять смысл величин на каждом шаге.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — описание реальной ситуации с помощью математических объектов: чисел, переменных, формул или уравнений. Например, количество карандашей можно обозначить буквами, а сведения из условия записать равенствами. Модель помогает заменить длинное описание точными связями и найти неизвестные величины.
Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Каждое уравнение передаёт отдельное условие задачи, а система собирает эти условия вместе. Так можно учитывать сразу несколько связей между величинами, а не решать каждую отдельно.
Решение системы — набор значений неизвестных, при котором все уравнения системы становятся верными равенствами. Если неизвестных две, решение обычно записывают парой чисел, например x = 10 и y = 8. Оно показывает возможные значения величин в математической модели.
Проверка модели — сопоставление найденных значений с условиями задачи и смыслом величин. Нужно убедиться, что значения удовлетворяют уравнениям и подходят реальной ситуации. Такая проверка помогает заметить недопустимые ответы, например отрицательное число предметов.
Перед составлением уравнений полезно выбрать неизвестные и подписать, что означает каждая переменная. Тогда буквы не путаются между собой, а единицы измерения помогают следить за правильностью вычислений. Например, если x — скорость велосипедиста на шоссе в километрах в час, то величина x − 6 будет его скоростью на грунтовой дороге в тех же единицах. Ясные обозначения делают переход от текста к формулам более надёжным.
Затем в условии находят связи между неизвестными и записывают каждую связь отдельным уравнением. Для этого внимательно разбирают слова: «на 6 больше» означает прибавить 6, а «в 6 раз больше» — умножить на 6. В задаче о движении время связывает расстояние и скорость: время равно расстоянию, делённому на скорость. Уравнение должно точно передавать смысл фразы, поэтому полезно проговорить его словами и сравнить с исходным условием.
Если в задаче несколько неизвестных, обычно требуется несколько условий, поэтому одного уравнения недостаточно для описания всей ситуации. Каждое независимое условие даёт своё уравнение, а все они должны быть верны для одних и тех же значений неизвестных. Именно поэтому их объединяют в систему. Если решать уравнения по отдельности и не учитывать остальные условия, можно получить значения, которые не подходят задаче целиком.
Когда система составлена, её решают уже известными способами: например, подстановкой или сложением уравнений. Полученные значения сначала являются математическим результатом, а не готовым ответом в словах. Их нужно связать с выбранными обозначениями: если x и y означают количества карандашей в коробках, то числа x и y и будут искомыми количествами. Такая обратная замена переводит ответ из языка формул в язык задачи.
Не всякое решение системы подходит реальной ситуации, потому что математические уравнения могут допускать значения, невозможные по смыслу. Количество людей или предметов обычно должно быть неотрицательным целым числом, а скорость — положительной. Поэтому проверь и подстановку в уравнения, и соответствие первоначальным условиям. Если найденные значения не подходят, выясни, ошибка ли это в вычислениях или решение действительно нужно исключить.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Выбор неизвестных и их смысл | Обозначить искомые величины буквами | Подписать смысл и единицы каждой переменной |
| Перевод условий задачи в уравнения | Записать каждую связь между величинами | Не перепутать смысл слов и действий |
| Решение системы | Применить подходящий известный способ | Все уравнения должны выполняться для одного набора значений |
| Проверка найденных значений | Подставить значения и сопоставить с условием | Отсеять невозможные по смыслу величины |
| Запись ответа с учётом смысла задачи | Ответить на вопрос словами | Указать нужные величины и единицы измерения |
Пользуйся таблицей как маршрутом: переходи к следующему этапу, когда предыдущий выполнен и понятен. Если ответ оказался неверным, вернись к тому шагу, где могла возникнуть ошибка: часто проблема появляется при переводе слов в уравнение. В конце проверь, что ответ сформулирован именно в тех величинах, о которых спрашивали.
В двух коробках 38 карандашей, в первой на 6 карандашей больше, чем во второй. Обозначим через x количество карандашей в первой коробке, а через y — во второй. Условие об общем количестве даёт x + y = 38, а сравнение количеств — x − y = 6. Нужно найти значения x и y, удовлетворяющие обоим равенствам.
Ответ: в первой коробке 22 карандаша, во второй — 16.
Велосипедист проехал 24 км по шоссе и 6 км по грунтовой дороге за 2 часа; на грунтовой дороге его скорость была на 6 км/ч меньше. Пусть x — скорость на шоссе, y — скорость на грунтовой дороге, обе в км/ч. Тогда разность скоростей задаёт уравнение x − y = 6, а суммарное время выражается как 24/x + 6/y = 2. Это нелинейная система, потому что неизвестные стоят в знаменателях.
Ответ: скорость на шоссе — 9 км/ч, на грунтовой дороге — 3 км/ч.
Для приготовления 10 кг сплава смешали сплавы с содержанием меди 20% и 50%; в готовом сплаве меди 35%. Пусть x кг — масса 20%-го сплава, а y кг — масса 50%-го. Сначала используем общий вес: x + y = 10. Затем запишем сохранение массы меди: 0,2x + 0,5y = 0,35 · 10, то есть 0,2x + 0,5y = 3,5.
Ответ: взяли по 5 кг каждого сплава.
Если не пояснить, что обозначают переменные, легко поменять величины местами или смешать единицы измерения. Такая ошибка часто возникает, когда буквы вводят прямо во время вычислений, не возвращаясь к тексту. Чтобы проверить себя, запиши рядом с каждой переменной её смысл и единицы. Перед ответом ещё раз сверь значения с этими обозначениями.
Можно записать условия отдельными уравнениями, но не проверить, что они описывают одну ситуацию одновременно. Тогда значения могут удовлетворять одному равенству, но не удовлетворять другому. Проверяй найденный набор подстановкой во все уравнения системы, а не только в первое. Если хотя бы одно равенство неверно, система не решена.
Слова «на несколько больше» и «в несколько раз больше» иногда принимают за одинаковые отношения. Например, «на 6 больше» записывают как x = 6y, хотя нужно x = y + 6. Путаница появляется, когда условие переводят в формулу, не разбирая смысл слов. Проверь запись простым примером: если в меньшей группе 10, то на 6 больше — 16, а в 6 раз больше — 60.
Нельзя автоматически записывать все найденные решения системы в ответ, не оценивая их смысл. Например, отрицательная масса или неподходящее время могут появиться из уравнений, но не описывают допустимую ситуацию. Сверь значения с ограничениями задачи и подставь их в первоначальные условия, а не только в преобразованные уравнения. В ответ включай лишь те варианты, которые действительно подходят.
Для этой темы нужны навыки составления и решения систем линейных уравнений, а также преобразования выражений: раскрытия скобок, переноса слагаемых и подстановки. Умение внимательно читать условие связывает алгебру с текстовыми задачами на движение, работу, смеси и сплавы. В каждой из них выбирают величины и записывают зависимости, хотя сами формулы могут быть разными. Позже тот же подход пригодится для практических задач и моделей более сложных процессов.
Почему для решения текстовой задачи может понадобиться именно система уравнений?
В задаче часто есть несколько неизвестных величин и несколько условий, связывающих их. Каждое условие записывают уравнением, а искомые значения должны удовлетворять им всем одновременно.
Как понять, какие величины выбрать за неизвестные?
Выбирай величины, о которых спрашивается в задаче или через которые удобно выразить остальные данные. Сразу укажи, что означает каждая переменная, и запиши её единицы измерения.
Можно ли составить разные системы для одной и той же задачи?
Да, если выбрать другие неизвестные или иначе выразить условия, получится другая запись модели. Она будет подходящей, если точно передаёт условия и позволяет получить ответ на вопрос задачи.
Нужно ли проверять корни системы в исходной задаче?
Да. Решение системы проверяют не только подстановкой в уравнения, но и по смыслу задачи: например, количество предметов не может быть отрицательным.
Что делать, если решение системы не подходит по смыслу задачи?
Такое значение нужно исключить из ответа, потому что оно не описывает допустимую ситуацию. Затем проверь, верно ли составлены уравнения и не осталось ли других решений, подходящих условиям.
§ 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций
