"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Система уравнений объединяет несколько уравнений с общими неизвестными: нужно найти такие значения, которые подходят каждому уравнению сразу. Для этого используют подстановку, алгебраическое сложение и замену переменных. Выбор способа зависит от вида уравнений и того, какие выражения проще преобразовать. После решения найденные значения проверяют в исходной системе, чтобы убедиться, что ответ подходит и ограничения учтены.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Например, в системе с x и y нужно подобрать значения обеих букв так, чтобы каждое равенство было верным. Это понятие нужно, когда условия задачи связаны между собой и должны выполняться вместе.
Решение системы — набор значений неизвестных, обращающий в верные равенства каждое уравнение системы. Если ответ записан как пара (x; y), обе координаты относятся к одним и тем же значениям неизвестных во всех уравнениях. Определение помогает отличать общий ответ системы от результата, подошедшего лишь к одному уравнению.
Метод подстановки — способ решения, при котором одну неизвестную выражают через другую и подставляют полученное выражение в оставшееся уравнение. Так вместо двух неизвестных сначала получают уравнение с одной неизвестной. Метод удобен, если выразить одну букву можно без сложных преобразований.
Метод алгебраического сложения — способ решения, при котором уравнения умножают на подходящие числа и складывают или вычитают, чтобы исключить одну неизвестную. Исчезновение одной буквы упрощает систему до уравнения с другой. Этот способ особенно полезен, когда коэффициенты уже совпадают или их легко сделать противоположными.
Чтобы решить систему, нужно найти общие решения её уравнений: каждое из них задаёт условие на неизвестные, а система требует выполнения всех условий сразу. Поэтому найденные значения подставляют в каждое уравнение, а не только в то, с которого начали. Если хотя бы одно равенство неверно, такая пара не является решением системы.
При подстановке сначала выражают одну неизвестную через другую, а затем заменяют этой записью неизвестную в другом уравнении. Это работает потому, что равные выражения можно заменять друг другом, не меняя истинности равенства. После замены остаётся уравнение с одной неизвестной; найденное значение используют, чтобы вычислить вторую.
При алгебраическом сложении выбирают неизвестную, которую проще исключить. Уравнения умножают на такие числа, чтобы коэффициенты при этой неизвестной стали противоположными: например, 3 и −3. При сложении эти слагаемые дают ноль, поэтому остаётся уравнение только с другой неизвестной.
Если в системе повторяются одинаковые или похожие выражения, их можно обозначить новыми буквами. Такая замена уменьшает громоздкость записи: вместо длинного выражения в нескольких местах появляется одна переменная. После решения упрощённой системы необходимо найти исходные неизвестные из введённых обозначений, иначе ответ останется неполным.
Проверка нужна потому, что при преобразованиях можно потерять условия, например ограничение на знаменатель, или допустить вычислительную ошибку. Подстановка пары в исходные уравнения показывает, действительно ли она подходит системе. Если использовалась замена переменных, проверяют уже восстановленные значения, а не только новые обозначения.
В таблице собраны основные ориентиры для выбора способа. Сначала оцени, какие выражения в системе проще преобразовать, а затем используй соответствующую строку. Последняя строка напоминает, что проверка нужна независимо от выбранного метода.
| Способ | Основной шаг | Когда удобен | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Подстановка | Выразить одну неизвестную и подставить в другое уравнение | Когда неизвестную легко выразить | Подходит ли найденная пара обоим уравнениям |
| Алгебраическое сложение | Подобрать множители и исключить одну неизвестную | Когда коэффициенты можно сделать противоположными | Умножены ли все слагаемые и правая часть |
| Замена переменных | Обозначить повторяющиеся выражения новыми переменными | Когда в системе повторяются выражения | Выполнен ли возврат к исходным неизвестным |
| Проверка найденных решений в исходной системе | Подставить каждую пару значений в уравнения | После решения системы любым способом | Верны ли все равенства и учтены ли ограничения |
Решить систему x + y = 7, y = 2x − 2. Во втором уравнении y уже выражена через x, поэтому здесь проще всего применить подстановку. Сначала найдём x, а затем восстановим значение y.
Ответ: (3; 4). Оба исходных равенства верны, значит найденные значения образуют решение системы. Скобки в записи подстановки показывают, что вместо y подставлено всё выражение 2x − 2.
Решить систему 2x + 3y = 8, 4x − 3y = 4. Коэффициенты при y равны 3 и −3, поэтому эту неизвестную можно исключить сложением без предварительного умножения. После нахождения x подставим его в одно из исходных уравнений.
Ответ: (2; 4/3). При сложении важно складывать правые части так же, как левые, иначе равносильность преобразования нарушится. Проверка второго равенства подтверждает, что найденная пара подходит всей системе.
Решить систему x² + y² = 25, x + y = 7. Здесь удобно воспользоваться формулой квадрата суммы: (x + y)² = x² + 2xy + y². Она позволит получить произведение xy, а затем определить числа, сумма и произведение которых известны.
Ответ: (3; 4), (4; 3). Оба порядка нужно указать, потому что уравнения одинаково допускают перестановку x и y. Проверка подтверждает каждую из двух пар.
Можно принять за решение пары значений, которые подходят только одному уравнению. Так происходит, если проверяют лишь то равенство, из которого нашли неизвестную. Подставь пару во все уравнения системы: каждый результат должен быть верным.
При подстановке иногда заменяют неизвестную не всем выражением или теряют скобки. Из-за этого меняются знаки либо пропадают слагаемые, особенно если перед выражением стоит минус. Запиши подставляемую часть в скобках и раскрой их отдельно; затем проверь исходную запись заменой обратно.
При сложении уравнений можно умножить только часть уравнения на выбранное число. Причина обычно в спешке: правая часть воспринимается отдельно, хотя равенство требует одинакового действия с обеими сторонами. Перед сложением проверь каждое слагаемое, включая число справа, и только потом сокращай противоположные члены.
После замены переменных иногда забывают вернуться к x и y или проверить полученный ответ в первоначальной системе. Новые буквы обозначают выражения, а не исходные неизвестные, поэтому их значения ещё нужно расшифровать. Выпиши исходные переменные из обозначений и подставь итоговые пары в начальные уравнения.
Для решения систем нужны навыки решения линейных и квадратных уравнений, преобразования выражений и подстановки значений переменных. Эти действия позволяют переходить от системы к более простым уравнениям, не теряя смысл условий. Поэтому полезно уметь раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и проверять вычисления.
Системы применяют в задачах, где несколько неизвестных связаны разными условиями, например при составлении уравнений по тексту. Они также помогают изучать графики: решение системы соответствует общим точкам графиков её уравнений. Эти методы пригодятся и при работе с нелинейными уравнениями, в которых неизвестные могут входить в степени.
Чем решение системы отличается от решения отдельного уравнения?
Решение отдельного уравнения должно удовлетворять только ему. Решение системы — это набор значений, который одновременно подходит каждому уравнению. Поэтому пару значений проверяют во всех уравнениях системы.
Как понять, какой метод решения системы выбрать?
Посмотри, можно ли легко выразить одну неизвестную: тогда удобно применить подстановку. Если коэффициенты при одной неизвестной одинаковы или легко сделать их противоположными, подойдут сложение или вычитание уравнений. Повторяющиеся выражения часто упрощает замена переменных.
Почему при подстановке важно ставить скобки?
Скобки показывают, что вместо неизвестной подставляется всё выражение целиком. При раскрытии скобок знаки перед слагаемыми могут измениться, особенно если перед скобками стоит минус. Скобки помогают не потерять эти изменения.
Как подобрать множители для метода алгебраического сложения?
Выбери неизвестную, которую хочешь исключить, и сделай её коэффициенты в уравнениях противоположными. Для этого умножь каждое уравнение на подходящее число, обязательно умножая все его слагаемые и правую часть. Затем сложи уравнения.
Зачем проверять ответ в исходной системе?
Преобразования могут привести к значениям, которые не подходят исходным уравнениям, а некоторые выражения имеют ограничения. Подстановка найденной пары в первоначальную систему показывает, обращаются ли все равенства в верные. Проверка также помогает заметить вычислительную ошибку.
§ 6. Методы решения систем уравнений
