"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г., П.В. Семенов (часть 1), Мордкович А.Г., Александрова А.Л., Мишустина Т.Н. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Уравнение с двумя переменными задаёт условие для пары чисел, а система объединяет несколько таких условий, которые должны выполняться одновременно. Поэтому решение одного уравнения и решение системы записывают упорядоченной парой значений переменных. Чтобы проверить пару, подставляют её координаты в исходные равенства. Уравнение может иметь несколько решений, а система — одно, несколько или ни одного.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с двумя переменными — равенство, в котором есть две неизвестные, например x + 2y = 4. Его решение — пара чисел, при подстановке которой вместо переменных равенство становится верным. Такая запись позволяет не просто увидеть неизвестные, а проверить, подходит ли конкретная пара.
Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара значений переменных, например (x; y) = (2; 1). Первое число относится к x, второе — к y. Если поменять их местами, получится другая пара, которую нужно проверять отдельно.
Система уравнений — несколько уравнений с общими переменными, которые должны выполняться одновременно. Обычно уравнения системы записывают рядом и объединяют фигурной скобкой. Это обозначение напоминает: недостаточно выполнить только одно из условий.
Решение системы уравнений — пара значений переменных, которая является решением каждого уравнения системы. Поэтому её подстановка должна превращать все равенства системы в верные. Это определение помогает отличить общие решения от решений отдельных уравнений.
Уравнение с двумя переменными задаёт условие для пары чисел, а не для одного числа. Например, в x + 2y = 4 значение x само по себе не определяет, верно ли равенство: нужно знать и y. Поэтому решение удобно записывать как (x; y) и проверять прямой подстановкой. Если после вычислений левая и правая части равны, пара подходит; иначе она не является решением.
Одно уравнение может иметь несколько решений, потому что разные пары способны выполнить одно и то же условие. В равенстве x + y = 5 пары (1; 4) и (2; 3) дают одну и ту же сумму. Значения переменных различаются, но требование уравнения выполняется в обоих случаях. Сколько именно решений получится, зависит от самого уравнения и, если это оговорено, от допустимых значений переменных.
В системе уравнений условий несколько, и требуется выполнить их все. Если пара подходит только первому уравнению, она не может быть решением всей системы: оставшиеся условия тоже обязательны. Поэтому решение системы ищут среди общих решений её уравнений. Графически общие решения можно представить как общие точки графиков, если графики этих уравнений рассматривают.
Проверка системы устроена как последовательная проверка каждого равенства. Подставляют одну и ту же пару во все уравнения, не меняя порядок координат: первое число соответствует первой переменной, второе — второй. Если хотя бы одно равенство оказалось неверным, пара не удовлетворяет системе. Так подстановка помогает проверить и предложенный ответ, и результат решения.
Количество решений системы зависит от того, сколько общих решений есть у входящих в неё уравнений. Если общая пара одна, у системы одно решение; если общих пар несколько, решений несколько. Когда ни одна пара не подходит всем уравнениям одновременно, система решений не имеет. Следовательно, нельзя заранее считать, что у любой системы обязательно найдётся единственная пара.
| Объект | Что должно выполняться | Как записывают решение |
|---|---|---|
| Уравнение с двумя переменными | Одно равенство должно стать верным | Упорядоченная пара (x; y) |
| Система уравнений | Все уравнения должны быть верными одновременно | Пара, подходящая каждому уравнению |
| Проверка решения | Подстановка должна подтвердить каждое нужное равенство | Пара и проверка равенств по отдельности |
Сначала определите, что проверяете: отдельное уравнение или всю систему. Затем сопоставьте координаты пары с переменными и подставьте числа в нужные равенства. Для системы проверку повторяют для каждого уравнения.
Задача 1. Проверить, является ли пара (2; 1) решением уравнения x + 2y = 4. Здесь первое число пары подставляется вместо x, второе — вместо y. Нужно вычислить значение левой части и сравнить его с правой частью.
Ответ: да, пара (2; 1) является решением уравнения.
Задача 2. Найти все целые решения x + y = 5, если x и y — неотрицательные целые числа. Неотрицательные целые числа — это 0, 1, 2 и далее; отрицательные значения исключены условием. Удобно перебирать x от 0 до 5: большее значение уже потребовало бы отрицательного y.
Ответ: (0; 5), (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), (5; 0).
Задача 3. Проверить пару (1; 2) для системы x + y = 3, x − y = −1, а затем решить систему. Сначала подстановка покажет, является ли предложенная пара общим решением. Для поиска решения удобно сложить уравнения: переменная y при этом сократится.
Ответ: пара (1; 2) подходит системе; решение системы — (1; 2).
Первая ошибка — записать решение одним числом, хотя переменных две. Так теряется значение второй переменной, и проверить равенство полностью нельзя. Обычно путаются, когда воспринимают задачу как обычное уравнение с одной неизвестной. Проверьте запись: в решении должны быть указаны значения обеих переменных.
Вторая ошибка — поменять местами координаты пары без новой проверки. Порядок важен, потому что каждое число подставляется вместо своей переменной. Такое случается, если записывать числа как неупорядоченный набор. Для самопроверки рядом с парой подпишите соответствие: первое число — x, второе — y.
Третья ошибка — считать решением системы пару, которая подходит только одному уравнению. Ученик может проверить первое равенство и забыть про остальные, хотя система требует одновременного выполнения всех условий. Проверьте подстановкой каждое уравнение и отметьте результат отдельно. Если хоть одно равенство неверно, пара не является решением системы.
Четвёртая ошибка — проверять результат только после преобразований и не сверяться с исходными уравнениями. При преобразовании можно допустить вычислительную ошибку или получить условие, не равносильное исходному. Чтобы обнаружить такую неточность, подставьте найденную пару в каждое исходное равенство. Верные равенства во всех строках подтвердят ответ.
До изучения темы нужно уметь подставлять числа вместо переменных и вычислять значения выражений. Ещё понадобится сравнивать левую и правую части, чтобы понимать, стало ли равенство верным. Эти навыки составляют основу проверки любой пары.
Понятия решения уравнения и системы понадобятся при изучении способов решения систем. Они помогают понять, что именно должен дать каждый метод: общую пару, удовлетворяющую всем условиям. Те же понятия используют при составлении математических моделей задач, когда неизвестные обозначают переменными, а условия записывают уравнениями.
Почему решение уравнения с двумя переменными записывают парой чисел?
Потому что в уравнении участвуют две переменные, и для проверки нужно знать значение каждой. Пара показывает, какое число подставить вместо первой переменной, а какое — вместо второй.
Может ли уравнение с двумя переменными иметь несколько решений?
Да. Одно уравнение задаёт условие, которому могут удовлетворять разные пары чисел. Например, уравнение x + y = 5 имеет решения (0; 5), (1; 4) и другие.
Чем решение уравнения отличается от решения системы?
Решение уравнения — пара, при которой верно одно равенство. Решение системы — пара, при которой верны одновременно все уравнения, входящие в систему.
Как проверить, является ли данная пара решением системы?
Подставьте первое число пары вместо первой переменной, а второе — вместо второй в каждое уравнение системы. Если все равенства верны, пара является решением; если хотя бы одно неверно — нет.
Может ли система уравнений не иметь решений?
Да. Такое происходит, если не существует пары чисел, которая одновременно удовлетворяет всем уравнениям. Например, уравнения системы могут требовать несовместимых значений переменных.
§ 5. Основные понятия
