"Алгебра", Мордкович А.Г.
Система двух линейных уравнений объединяет уравнения с одними и теми же переменными: значения x и y должны подходить сразу к обоим. Решение такой системы — упорядоченная пара чисел, которая превращает оба уравнения в верные равенства. На координатной плоскости решениям соответствуют общие точки графиков уравнений. Поэтому по взаимному расположению прямых можно определить, сколько решений имеет система: одно, бесконечно много или ни одного.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения, объединённые фигурной скобкой или записью друг под другом. В них используются одни и те же переменные, обычно x и y, а оба уравнения должны выполняться одновременно. Поэтому нельзя выбрать значения, подходящие только одному из уравнений. Система помогает искать пару чисел, которая удовлетворяет сразу двум условиям.
Решение системы — пара значений переменных, при подстановке которой оба уравнения превращаются в верные равенства. Пару записывают в порядке (x; y): первое число задаёт x, второе — y. Например, запись (2; 1) означает x = 2 и y = 1. Это определение нужно, чтобы точно указать ответ и проверить его подстановкой.
Равносильные системы — системы, у которых один и тот же набор решений. У них могут быть по-разному записаны уравнения, но подходящие пары чисел совпадают. Это понятие позволяет заменять исходную систему более удобной, не меняя её ответов. После преобразований можно решать новую систему вместо первоначальной.
Графическое решение системы — поиск её решения по графикам уравнений. Если графики пересекаются, координаты точки пересечения подходят обоим уравнениям. Так можно увидеть ответ на координатной плоскости, а не только получить его вычислениями. Способ особенно удобен, когда уравнения задают прямые.
Решение системы записывают парой чисел, потому что в каждом уравнении участвуют две переменные. Одно число без второго не задаёт значения обеих переменных и потому не позволяет проверить условие полностью. Например, при x = 2 значение левой части уравнения x + y = 3 зависит ещё и от y. Нужно найти именно такую пару, при которой выполняются оба уравнения системы.
Чтобы проверить заданную пару, сначала определяют, какое число относится к x, а какое — к y. Затем подставляют их в первое уравнение и вычисляют обе части равенства. То же самое делают отдельно со вторым уравнением, потому что выполнение первого не гарантирует выполнение второго. Пара подходит системе только при двух верных проверках.
Уравнение с двумя переменными задаёт график, каждая точка которого соответствует подходящей паре значений. Например, если точка имеет координаты (a; b) и лежит на графике уравнения, то при x = a и y = b уравнение верно. Это следует из самого смысла графика: он собирает точки, координаты которых удовлетворяют уравнению. Значит, график показывает все решения одного уравнения.
В системе нужно, чтобы одна и та же пара удовлетворяла обоим уравнениям. На плоскости такая пара изображается одной точкой, которая должна принадлежать каждому из двух графиков. Поэтому решения системы ищут среди общих точек графиков, а не среди всех точек одной прямой. Если общих точек нет, не существует пары, подходящей обоим уравнениям.
Число решений зависит от того, как расположены графики. Две прямые могут пересечься ровно один раз, совпасть или не иметь общих точек. Каждая общая точка даёт одну пару координат, то есть одно решение. Если прямые совпадают, общих точек бесконечно много; если они параллельны и различны, общих точек нет.
| Взаимное расположение графиков | Число решений | Что это означает |
|---|---|---|
| Пересекаются в одной точке | Одно | Есть одна общая точка и одна пара-решение |
| Совпадают | Бесконечно много | Каждая точка прямой общая для графиков |
| Не имеют общих точек | Ни одного | Нет пары, удовлетворяющей обоим уравнениям |
Сначала установите, пересекаются ли графики, совпадают ли они или не имеют общих точек. Затем найдите соответствующее число решений в среднем столбце. Если прямые пересекаются, координаты их общей точки дают конкретную пару решения.
Задача. Проверьте, является ли пара (2; 1) решением системы x + y = 3, 2x − y = 3. В паре первое число относится к x, второе — к y. Нужно проверить оба равенства, а не только то, которое выглядит проще.
Ответ: пара (2; 1) является решением системы, потому что удовлетворяет обоим уравнениям.
Задача. Найдите графически решение системы y = x + 1, y = −x + 3. Каждое уравнение задаёт прямую, поэтому для построения каждой достаточно найти несколько её точек. Координаты пересечения нужно записать в порядке (x; y).
Ответ: (1; 2). Проверка подтверждает результат: 2 = 1 + 1 и 2 = −1 + 3.
Задача. Определите число решений системы y = 2x + 1, 2y = 4x + 2. Чтобы сравнить графики, приведём оба уравнения к виду y = kx + b. Если записи получатся одинаковыми, обе прямые будут совпадать.
Ответ: система имеет бесконечно много решений.
Проверяют пару только в одном уравнении. Это ошибка, потому что решение должно удовлетворять всей системе, а не её части. Её допускают, принимая первое верное равенство за окончательное доказательство. Проверьте подстановку отдельно в каждом уравнении.
Меняют местами координаты пары. Запись (2; 1) означает x = 2, y = 1, а не наоборот. Путаница возникает, если не помнить установленный порядок координат. Перед подстановкой подпишите числа: первое — x, второе — y.
Считают решением любую точку одного графика. Такая точка может удовлетворять лишь одному уравнению, поэтому для системы этого недостаточно. Ошибка появляется, когда рассматривают прямые по отдельности. Проверьте, принадлежит ли точка обоим графикам, то есть является ли она общей.
Неверно считывают координаты пересечения. Можно перепутать абсциссу x и ординату y или неточно определить значение по клеткам. Это часто происходит при беглом чтении рисунка. Сначала найдите координату по горизонтальной оси, затем по вертикальной и проверьте пару подстановкой.
Для работы с системой нужно уметь подставлять значения переменных в выражения и проверять, верно ли равенство. Например, при проверке пары приходится вычислять обе части каждого уравнения. Если вычисления выполнены аккуратно, сразу видно, подходит ли пара.
Также понадобятся знания об уравнениях с двумя переменными и координатной плоскости. Первые помогают понимать, какие пары задают график, а вторая — строить его и читать координаты точек. Система соединяет эти умения: общая точка графиков даёт пару, подходящую сразу двум уравнениям.
Понятие системы станет основой для изучения способов решения систем и составления математических моделей задач. В задачах систему можно использовать, когда нужно найти два неизвестных значения по двум условиям. Понимание того, что значит решение, поможет проверять найденный ответ и выбирать подходящий способ решения.
Чем система уравнений отличается от одного уравнения?
В системе собраны два или несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. Пара значений подходит системе только тогда, когда верны все её уравнения.
Почему решение записывают парой чисел?
Каждое уравнение связывает две переменные — x и y. Поэтому решение задаёт значение для каждой переменной, а их записывают в порядке (x; y).
Как быстро проверить, подходит ли пара для системы?
Подставьте первое число вместо x, второе — вместо y в каждое уравнение. Если оба равенства верны, пара является решением; если хотя бы одно неверно — не является.
Что означает точка пересечения графиков уравнений?
Её координаты одновременно подходят обоим уравнениям. Значит, координаты точки пересечения образуют решение системы.
Может ли система иметь бесконечно много решений?
Да, если графики уравнений совпадают. Тогда каждая точка этой прямой является общей точкой графиков и задаёт решение системы.
§ 11. Основные понятия
