§ 10. Взаимное расположение графиков линейных функций

Определения и обозначения

Линейная функция — функция вида y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — числа. Коэффициент k определяет наклон графика, а b задаёт его положение по вертикали. Запись помогает понять свойства функции и сравнить её с другими линейными функциями.

График линейной функции — прямая, каждая точка которой имеет координаты, удовлетворяющие уравнению y = kx + b. Например, точка принадлежит графику, если после подстановки её координат равенство становится верным. Это определение позволяет проверять, лежит ли точка на прямой.

Угловой коэффициент — коэффициент k, который определяет наклон прямой относительно осей координат. При одинаковых угловых коэффициентах прямые либо параллельны, либо совпадают. Поэтому при сравнении графиков сначала удобно проверить именно k.

Свободный член — коэффициент b, равный ординате точки пересечения графика с осью y. На этой оси x = 0, и тогда y = k · 0 + b = b. Значит, b показывает, в какой точке прямая пересекает вертикальную ось.

Как это устроено

График функции y = kx + b является прямой, потому что при изменении x значение y меняется на k, умноженное на изменение x. Такой постоянный темп изменения не создаёт изгибов: все точки выстраиваются вдоль одной прямой. Чтобы построить её, выберите два значения x, найдите соответствующие y и отметьте полученные точки на координатной плоскости. Через две разные точки можно провести только одну прямую.

Если у двух функций разные значения k, их прямые имеют разный наклон. Поэтому они не могут идти рядом на всём протяжении: продолжаясь в обе стороны, они пересекутся. Точка пересечения — единственная общая точка, поскольку два уравнения с разными коэффициентами при x дают одно решение. По рисунку место пересечения можно оценить, но для точного ответа лучше использовать формулы.

Когда значения k равны, прямые наклонены одинаково, то есть направлены одинаковым образом. Если при этом значения b различны, прямые пересекают ось y в разных точках. Одна не может попасть на другую: при любом одинаковом x значения y отличаются на постоянную величину, равную разности свободных членов. Поэтому такие прямые параллельны.

Если совпадают и k, и b, формулы двух функций одинаковы. При любом выбранном x они дают одно и то же значение y, значит, каждая точка одного графика принадлежит другому. Так прямые не просто пересекаются, а полностью накладываются друг на друга. У них бесконечно много общих точек.

Для определения взаимного расположения запишите формулы в виде y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂. Сначала сравните k: разные значения означают пересечение, а равные требуют сравнения b. При равных k сравните свободные члены: разные b дают параллельные прямые, одинаковые — совпадающие. Такой порядок заменяет построение графиков, если нужно установить только их взаимное расположение.

Взаимное расположение графиков линейных функций

Пользуйтесь таблицей по порядку: сначала найдите коэффициенты при x и сравните их. Если они равны, переходите к свободным членам. Так вы определите и вид расположения прямых, и количество их общих точек.

Разбор задач

Задача 1. Определите взаимное расположение графиков y = 3x + 2 и y = 3x − 4. Сначала выделим коэффициенты: у обеих функций k = 3, но свободные члены различны. Значит, графики параллельны и не имеют общих точек.

1. Сравниваем угловые коэффициенты: 3 = 3.
2. Сравниваем свободные члены: 2 ≠ −4.
3. При одинаковых k и разных b прямые параллельны.

Ответ: графики параллельны, общих точек нет. Здесь не нужно строить обе прямые: их коэффициенты сразу дают нужный вывод. Разные свободные члены показывают, что прямые проходят через разные точки оси y.

Задача 2. Определите расположение графиков y = 2x + 1 и y = −x + 4 и найдите точку пересечения. Коэффициенты при x различны: 2 и −1, поэтому прямые пересекаются. Чтобы найти координаты, приравняем значения y, ведь в общей точке обе формулы должны дать одну и ту же ординату.

1. Составляем уравнение: 2x + 1 = −x + 4.
2. Переносим слагаемые: 3x = 3, откуда x = 1.
3. Подставляем x = 1 в первую формулу: y = 2 · 1 + 1 = 3.

Ответ: графики пересекаются в точке (1; 3). Проверка по второй формуле даёт y = −1 + 4 = 3. Значит, найденная точка удовлетворяет обоим уравнениям.

Задача 3. При каком значении a графики y = (a + 1)x − 2 и y = 4x + 3 будут параллельны, а при каком совпадут? У первой прямой угловой коэффициент равен a + 1, у второй — 4. Для параллельности требуется равенство этих коэффициентов, а для совпадения дополнительно должны быть равны свободные члены.

1. Приравниваем угловые коэффициенты: a + 1 = 4.
2. Решаем уравнение: a = 3. При этом свободные члены −2 и 3 различны.
3. Для совпадения нужно также −2 = 3, но это неверно при любом a.

Ответ: графики параллельны при a = 3; совпасть они не могут ни при каком значении a. Параметр a меняет только наклон первой прямой, но не её свободный член. Поэтому сделать равными оба коэффициента у этих функций невозможно.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что равенство угловых коэффициентов всегда означает совпадение прямых. Так рассуждают, замечая только одинаковый наклон и забывая, что прямые могут проходить через разные точки оси y. Всегда сравнивайте также b: при разных свободных членах прямые параллельны.

Не путайте угловой коэффициент k со свободным членом b и не определяйте наклон по b. Это происходит, когда оба числа воспринимают просто как части формулы, не связывая их с графиком. Для проверки найдите, какое число стоит при x, а какое остаётся без x: первое задаёт наклон, второе — пересечение с осью y.

Неверно утверждать, что прямые с разными угловыми коэффициентами параллельны. Разный наклон означает, что направления прямых различаются, поэтому они пересекаются. Проверьте себя сравнением коэффициентов при x: если k₁ ≠ k₂, у прямых одна общая точка.

Не определяйте расположение прямых только по рисунку: неточный масштаб может скрыть пересечение или создать впечатление параллельности. На ограниченном участке две пересекающиеся прямые могут выглядеть почти параллельными. Сверьте рисунок с коэффициентами в формулах, а координаты пересечения при необходимости вычислите уравнением.

Связь с другими темами

Перед изучением взаимного расположения нужно уметь строить график y = kx + b по двум точкам и понимать смысл k и b. Эти навыки помогают увидеть, как изменения коэффициентов отражаются на прямой. Если построение пока вызывает трудности, полезно проверить вычисления координат точек отдельно.

Точка пересечения двух графиков удовлетворяет обеим формулам одновременно. Поэтому её координаты являются общим решением системы двух линейных уравнений. Приравнивание правых частей — способ найти такое решение вычислением.

Сравнение прямых пригодится при исследовании систем уравнений: по графикам можно понять, сколько решений имеет система. Этот подход также помогает при дальнейшем изучении линейных функций. Он связывает вычисления с наглядным представлением уравнений.

Что запомнить

• График линейной функции y = kx + b — прямая.
• Если k₁ ≠ k₂, графики пересекаются в одной точке.
• Если k₁ = k₂ и b₁ ≠ b₂, графики параллельны.
• Если k₁ = k₂ и b₁ = b₂, графики совпадают.
• Коэффициент k задаёт наклон прямой, а b — точку пересечения с осью y.
• Точка пересечения графиков удовлетворяет обеим формулам.