§ 9. Линейная функция y = kx

Определения и обозначения

Линейная функция y = kx — это правило, по которому каждому значению x ставится в соответствие значение y, равное произведению k на x. Здесь x — независимая переменная, то есть число, которое можно выбирать, а y зависит от этого выбора. Например, при k = 2 и x = 3 получаем y = 6. Эта запись помогает вычислять значения функции для разных x.

Коэффициент k — постоянное число в формуле y = kx, на которое умножают x. Его знак показывает направление прямой: при положительном k она поднимается слева направо, а при отрицательном — опускается. Модуль числа k, то есть расстояние от k до нуля, связан с наклоном прямой: чем он больше, тем прямее график. Поэтому по коэффициенту можно заранее судить о виде графика.

График функции y = kx — множество точек с координатами (x; kx), где каждая точка удовлетворяет формуле. Например, если x = 1, то соответствующая точка имеет координаты (1; k). Все такие точки располагаются на одной прямой. График нужен, чтобы видеть, как меняется y при изменении x.

Прямая пропорциональность — связь двух величин x и y, заданных равенством y = kx, где k постоянно. Если x умножить на некоторое число, y умножится на то же число. Например, при удвоении x значение y тоже удваивается. Такая связь позволяет находить одну величину по другой.

Как это устроено

Чтобы построить график по формуле y = kx, сначала выбери несколько значений x, а затем для каждого вычисли y умножением на k. Полученные пары чисел запиши как координаты точек и отметь на плоскости. Например, для y = 2x можно взять x = −1, 0 и 1; тогда y равно −2, 0 и 2. Чем аккуратнее вычисления, тем точнее получится построение.

График обязательно проходит через начало координат, потому что при x = 0 формула даёт y = k · 0 = 0. Значит, точка с координатами (0; 0) подходит для любого значения k. Это полезная точка для построения: её не нужно угадывать или вычислять заново. Если при составлении таблицы для x = 0 получилось не ноль, проверь умножение.

График является прямой из-за того, что одинаковое изменение x всегда вызывает одинаковое изменение y. Если увеличить x на число h, новое значение функции будет k(x + h) = kx + kh, то есть y изменится на kh. При каждом таком шаге изменение остаётся одним и тем же, поскольку k и h постоянны. Именно поэтому точки не изгибаются, а лежат на одной прямой.

Знак k определяет, куда направлена прямая. При k > 0 увеличение x приводит к увеличению y: слева направо график поднимается, а его точки, кроме начала координат, лежат в I и III четвертях. При k < 0 увеличение x уменьшает y, поэтому график опускается слева направо и проходит через II и IV четверти. Это следует и из знаков произведения kx: при одинаковых знаках множителей результат положителен, при разных — отрицателен.

Если k = 0, то при любом x получается y = 0, поэтому график совпадает с осью Ox. Для ненулевых коэффициентов крутизна зависит от модуля k: например, y = 3x круче, чем y = x, потому что одинаковый шаг по x даёт втрое больший шаг по y. Знак при этом отвечает за направление, а модуль — за наклон. Сравнивая графики с одинаковым знаком k, легко заметить, какой из них круче.

Как коэффициент k влияет на график y = kx

Сначала определи знак коэффициента — он подскажет направление прямой и четверти, через которые она проходит. Затем сравни модули коэффициентов: большему модулю соответствует более крутой график. Во всех случаях графики проходят через начало координат, включая горизонтальную прямую y = 0.

Разбор задач

Построить график функции y = 2x

Для построения нужны координаты нескольких точек, которые удовлетворяют формуле. Возьмём простые значения x, чтобы вычисления были удобными, и не забудем включить x = 0. После отметки точек проведём через них прямую, поскольку график функции такого вида является прямой.

1. Выберем x = −2, 0 и 2.
2. Вычислим y: при x = −2 получаем y = 2 · (−2) = −4; при x = 0 получаем y = 0; при x = 2 получаем y = 4.
3. Запишем точки (−2; −4), (0; 0) и (2; 4), затем отметим их на координатной плоскости.
4. Проведём через отмеченные точки прямую. Проверка: координата y каждой точки равна удвоенной координате x.

Ответ: график y = 2x — прямая, проходящая через точки (−2; −4), (0; 0) и (2; 4). Поскольку коэффициент положительный, при движении слева направо прямая поднимается. Для построения достаточно двух разных точек, но третья помогает проверить точность.

Принадлежит ли точка A(−3; 6) графику y = −2x?

Точка принадлежит графику, если её координаты удовлетворяют формуле. Подставим в неё абсциссу точки, то есть x = −3, и сравним результат с указанной ординатой y = 6. Так проверяются обе координаты, а не только положение точки на рисунке.

1. Подставим x = −3 в правую часть: −2 · (−3) = 6.
2. Сравним полученное значение с ординатой точки: в A указано y = 6.
3. Значения совпали, значит координаты точки удовлетворяют равенству y = −2x.

Ответ: точка A(−3; 6) принадлежит графику. При отрицательном x и отрицательном коэффициенте произведение положительно, поэтому ордината 6 согласуется с формулой. Если бы результат подстановки не совпал с координатой y, точка не лежала бы на графике.

График y = kx проходит через B(4; −6). Найти k и построить график

Так как точка находится на графике, её координаты обязаны удовлетворять формуле. Подставим x = 4 и y = −6, чтобы составить уравнение для неизвестного k. После этого для построения используем найденный коэффициент и две точки, одна из которых — начало координат.

1. Подставим координаты B в формулу: −6 = 4k.
2. Разделим обе части равенства на 4: k = −6/4 = −1,5.
3. Получим функцию y = −1,5x. Помимо точки B(4; −6), возьмём начало координат (0; 0), которая подходит любой функции вида y = kx.
4. Отметим обе точки и проведём через них прямую. Проверим найденное значение: −1,5 · 4 = −6, значит точка B действительно лежит на графике.

Ответ: k = −1,5, график задаётся формулой y = −1,5x и проходит через (0; 0) и (4; −6). Отрицательный коэффициент означает, что прямая убывает слева направо. Проверка подстановкой подтверждает, что найденный коэффициент подходит.

Типичные ошибки

Ошибка: построить прямую, не проверив, проходит ли она через начало координат. Это случается, когда ученики сразу отмечают несколько произвольных точек и забывают особое свойство формулы. Проверь значение при x = 0: оно должно быть равно нулю. Если точка (0; 0) не попала на проведённую прямую, проверь таблицу и построение.

Ошибка: при k < 0 расположить график в I и III четвертях. Знак коэффициента иногда путают со знаком самой координаты, хотя y определяется произведением kx. Возьми x = 1 и вычисли y: при отрицательном k результат будет отрицательным; при x = −1 он будет положительным. Значит, прямая проходит через II и IV четверти.

Ошибка: использовать при построении точки, координаты которых не удовлетворяют формуле. Такое может произойти из-за ошибки в умножении или перепутанных знаков. Для каждой пары (x; y) отдельно проверь, что y = kx. Если равенство не выполняется, не отмечай эту пару как точку графика.

Ошибка: считать, что при большем |k| прямая становится положе. Возможно, так думают, сравнивая число k с величиной наклона без построения. На деле при одинаковом изменении x значение y меняется сильнее, поэтому прямая становится круче. Для самопроверки сравни, например, y = x и y = 3x: второе значение y при том же x втрое больше.

Связь с другими темами

Для работы с y = kx нужно уметь подставлять заданное значение переменной в выражение и выполнять умножение. Также необходимо знать, как отмечать точки по координатам на плоскости. Эти навыки позволяют без затруднений составить таблицу и перенести её данные на график.

Тема опирается на понятия координатной плоскости и графика функции. Таблица связывает выбранные значения x с соответствующими значениями y, а точки этой таблицы образуют изображение зависимости. Поэтому построение по формуле соединяет вычисления и чтение координат.

Понимание графика y = kx пригодится при изучении других линейных функций, например y = kx + b, где к произведению добавляется постоянное число. Графический способ также помогает решать уравнения: решение можно увидеть как координату точки пересечения графиков. Умение читать наклон и расположение прямой делает такие задачи нагляднее.

Что запомнить

• Функция y = kx задаётся формулой умножения x на постоянное число k.
• График функции y = kx — прямая, проходящая через начало координат.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 — убывает.
• При k = 0 график совпадает с осью Ox.
• Чем больше модуль k, тем круче график.
• Чтобы проверить принадлежность точки графику, подставь её абсциссу в формулу и сравни результат с ординатой.

Как это устроено

Коэффициент k задаёт наклон прямой, а его знак — направление изменения функции. Когда x увеличивается на одну и ту же величину, y каждый раз изменяется на постоянную величину, связанную с k. Поэтому график не изгибается и остаётся прямой. Посмотри на примеры ниже: все прямые проходят через начало координат, но имеют разное направление и наклон.