§ 8. Линейная функция и ее график

Определения и обозначения

Линейная функция — это функция вида y = kx + m, где x — аргумент, то есть переменная, а k и m — заданные числа. Значение y зависит от выбранного значения x. Буквы k и m остаются постоянными в рамках одной функции. Такая запись помогает описывать зависимость между двумя величинами.

Коэффициент k — число, стоящее при x, то есть множитель перед переменной. Он показывает, насколько быстро меняется y при изменении x, и задаёт наклон графика. Знак k помогает понять, в какую сторону направлена прямая. Благодаря ему можно определить поведение функции ещё до построения графика.

Коэффициент m называют свободным членом: он записан отдельно, без умножения на x. Если подставить x = 0, получим y = k · 0 + m = m. Значит, m — это значение функции при нулевом аргументе. Это число нужно, чтобы сразу определить, где график пересекает ось y.

График линейной функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению y = kx + m. Иными словами, каждой точке графика подходят значения x и y, связанные формулой. Чтобы проверить точку, достаточно подставить её координаты в равенство. Это определение позволяет отличать точки графика от точек, которые ему не принадлежат.

Как это устроено

Чтобы составить таблицу значений, сначала выбери несколько удобных значений x, затем для каждого вычисли y по формуле. Например, для y = 2x − 1 при x = 0 получаем y = −1, а при x = 1 получаем y = 1. Записываем пары чисел как точки (0; −1) и (1; 1). Выбирать x удобно так, чтобы вычисления были простыми, но подойдут и другие значения.

График получается прямой, потому что изменение y связано с изменением x одним и тем же коэффициентом. Если x увеличился на число d, то новое значение функции равно k(x + d) + m. После раскрытия скобок видно, что y изменился на kd — величину, которая не зависит от начального x. Поэтому при равных шагах по горизонтали получаются равные изменения по вертикали, а точки располагаются на одной прямой.

Направление прямой определяется знаком k. При увеличении x положительное k даёт положительное изменение y, поэтому график поднимается слева направо и функция возрастает. Если k отрицательное, произведение изменения x на k отрицательно: график опускается, а функция убывает. Когда k = 0, переменная исчезает из формулы, y всё время равно m, и прямая становится горизонтальной.

Свободный член задаёт пересечение графика с осью y, потому что у любой точки этой оси абсцисса x равна нулю. Подстановка нуля в формулу даёт координаты точки (0; m). Например, в функции y = −3x + 2 график пересекает ось y в точке (0; 2). Если m = 0, точка пересечения — начало координат (0; 0).

Для построения графика найди значения функции при двух разных x, отметь полученные точки и проведи через них прямую. Две разные точки задают единственную прямую: если бы через них можно было провести ещё одну, она совпала бы с первой. Поэтому третья точка для построения не обязательна, хотя её можно вычислить для проверки. Одной точки недостаточно, потому что через неё проходит множество прямых.

Вид графика функции y = kx + m в зависимости от коэффициентов

Сначала найди в таблице условие, которое подходит к формуле: проверь k, а затем m. Так можно определить направление прямой и точку её пересечения с осью y. Условия в строках относятся к разным коэффициентам и могут выполняться одновременно, например k > 0 и m = 0.

Разбор задач

Задача 1. Построить график функции y = 2x − 1. Для прямой нужны две точки, поэтому выберем такие значения x, при которых формулу легко вычислить. После вычислений получим координаты и нанесём их на координатную плоскость. Соединяем точки прямой и продолжаем её в обе стороны.

1. Пусть x = 0. Тогда y = 2 · 0 − 1 = −1, получаем точку (0; −1).
2. Возьмём x = 1. Тогда y = 2 · 1 − 1 = 1, получаем точку (1; 1).
3. Отметим обе точки и проведём через них прямую. Для проверки можно подставить координаты каждой точки в исходную формулу.

Ответ: график — прямая, проходящая через точки (0; −1) и (1; 1). Значения x можно было выбрать иначе, но две разные точки дали бы ту же прямую. Точка с x = 0 сразу показывает пересечение с осью y.

Задача 2. Определить, возрастает или убывает функция y = −3x + 2, и найти точку пересечения её графика с осью y. Сначала выделим коэффициенты: k = −3, m = 2. Затем применим правила о знаке k и значении функции при нулевом x. Так мы найдём оба ответа без построения графика.

1. Коэффициент k отрицательный: −3 < 0. Значит, функция убывает слева направо.
2. Для пересечения с осью y положим x = 0. Получим y = −3 · 0 + 2 = 2.
3. Запишем координаты точки пересечения: (0; 2).

Ответ: функция убывает, график пересекает ось y в точке (0; 2). Проверка проста: при увеличении x на 1 значение y уменьшается на 3. Подстановка x = 0 подтверждает значение свободного члена.

Задача 3. Найти формулу линейной функции, график которой проходит через точки (0; 4) и (2; 0). Подставим координаты каждой точки в y = kx + m. Первая точка особенно удобна: её абсцисса равна нулю, поэтому сразу находится m. Вторая точка позволит составить равенство и определить k.

1. Подставим точку (0; 4): 4 = k · 0 + m, значит, m = 4.
2. Подставим точку (2; 0): 0 = 2k + 4. Вычтем 4 и разделим на 2: 2k = −4, k = −2.
3. Подставим найденные коэффициенты в общий вид: y = −2x + 4.

Ответ: y = −2x + 4. Проверим формулу: при x = 0 она даёт y = 4, а при x = 2 — y = 0. Значит, обе заданные точки действительно принадлежат графику.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любая линейная функция проходит через начало координат. Так бывает только при m = 0, ведь при x = 0 значение y равно m. Обычно ошибку допускают, вспоминая частный случай y = kx и распространяя его на формулу с любым свободным членом. Для проверки подставь ноль вместо x: если m не равен нулю, точка (0; 0) графику не принадлежит.

Ошибка: путать коэффициенты k и m. Тогда можно принять значение при пересечении оси y за наклон прямой или наоборот. Это происходит, если не учитывать, что именно умножается на x. Проверь запись: k стоит при x, а m прибавляется отдельно; подстановка x = 0 подтверждает, что значение функции равно m.

Ошибка: неправильно определять возрастание и убывание по знаку k. Иногда смотрят на знак m или забывают, что отрицательный k меняет направление изменения y. При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает, а при k = 0 постоянна. Проверить вывод можно, увеличив x на 1: изменение y будет равно k.

Ошибка: строить прямую только по одной точке. Через одну отмеченную точку можно провести множество прямых с разными наклонами, поэтому график не определён однозначно. Такую ошибку легко допустить, заметив точку пересечения с осью y и остановившись на ней. Найди ещё одну точку с другим x и проверь, что обе пары координат удовлетворяют формуле.

Связь с другими темами

Для работы с линейной функцией нужны навыки подстановки чисел в буквенное выражение и вычисления значения формулы. Также важно ориентироваться на координатной плоскости: понимать, где расположены оси, и отмечать точки по координатам (x; y). Если эти действия знакомы, построение сводится к таблице и точному нанесению двух точек.

Линейная функция связывает графики прямых пропорциональностей с уравнениями и системами линейных уравнений. Прямая пропорциональность y = kx — частный случай, в котором m = 0 и график проходит через начало координат. Пересечение двух графиков линейных функций помогает находить решение системы уравнений.

Умение читать и строить графики пригодится при изучении других функций и решении задач, где данные заданы рисунком или таблицей. По графику можно увидеть, как меняется величина, и найти её значение при выбранном аргументе. Поэтому полезно не только строить прямые, но и объяснять, что означают их наклон и пересечения с осями.

Что запомнить

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + m.
• График линейной функции — прямая.
• Коэффициент k определяет наклон и направление графика.
• При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает.
• При k = 0 график горизонтален.
• График пересекает ось y в точке (0; m).
• Для построения прямой достаточно найти две её точки.