2.3. Линейная функция и её график

Определения и обозначения

Линейная функция — функция, которую можно задать формулой y = kx + b, где k и b — числа. При увеличении x на одинаковую величину y изменяется каждый раз одинаково, поэтому зависимость называют линейной. Эта запись позволяет связывать значения двух величин и вычислять одну, когда известна другая.

Коэффициент k — число, стоящее при x в формуле y = kx + b. Его знак показывает направление изменения функции: положительный k соответствует возрастанию, отрицательный — убыванию. Величина |k| помогает сравнить наклон прямых: чем она больше, тем круче график.

Свободный член b — число, которое прибавляют к произведению kx. При x = 0 слагаемое kx обращается в ноль, поэтому y = b. Этот коэффициент нужен, чтобы определить значение функции при нулевом x и положение графика относительно осей.

График линейной функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; y), удовлетворяющими формуле y = kx + b. Каждая такая точка показывает пару связанных значений переменных. График помогает увидеть зависимость целиком, а не только для отдельных вычисленных значений.

Как это устроено

В формуле y = kx + b число k умножается на x, а затем прибавляется неизменное число b. Если x увеличивается на одно и то же число, произведение kx каждый раз меняется на k, умноженное на это число; b при этом остаётся прежним. Поэтому при равных шагах по оси x получаются равные изменения y — именно так устроена линейная зависимость.

График этой функции — прямая, потому что одинаковые изменения x вызывают одинаковые изменения y. Для построения выбери два разных значения x и вычисли по формуле соответствующие y. Отметь полученные пары (x; y) на координатной плоскости и проведи через них прямую. Через две разные точки проходит только одна прямая, поэтому дополнительных точек для её определения не требуется.

Коэффициент k задаёт, в какую сторону и насколько быстро меняется y при движении вправо по оси x. Если k положителен, то y увеличивается, и прямая поднимается слева направо; если k отрицателен, y уменьшается, и прямая опускается. При большом |k| на такое же изменение x приходится более сильное изменение y, поэтому наклон становится круче. Знак b на направление изменения не влияет.

Чтобы найти пересечение графика с осью y, нужно взять x = 0: на этой оси у всех точек абсцисса равна нулю. Тогда в формуле остаётся y = b, значит, график проходит через точку (0; b). Это даёт одну точку прямой сразу, ещё до составления таблицы значений. Например, если b = 3, пересечение с осью y находится на высоте 3.

Если k = 0, слагаемое kx равно нулю при любом x, и формула превращается в y = b. Все точки графика тогда имеют одну и ту же координату y, поэтому прямая горизонтальна. Если вдобавок b = 0, получается y = 0: график проходит через начало координат и совпадает с осью x. При k, отличном от нуля, b = 0 также означает прохождение прямой через начало координат.

Как коэффициенты линейной функции определяют её график

Используй таблицу, чтобы по коэффициентам предсказать основные свойства графика до его построения. В строке про b учитывается значение свободного члена, а не его знак как показатель возрастания или убывания. Если нужно построить прямую точно, дополнительно найди две точки по формуле.

Разбор задач

Постройте график функции y = 2x + 1, выбрав два значения x.

Сначала удобно выбрать такие значения x, при которых вычисления будут простыми. Для каждого из них подставим число в формулу и получим координату y. Две найденные точки определят прямую, поэтому после отметки точек останется соединить их линейкой.

1. Выберем x = 0 и x = 1.
2. При x = 0: y = 2 · 0 + 1 = 1, получаем точку (0; 1).
3. При x = 1: y = 2 · 1 + 1 = 3, получаем точку (1; 3).
4. Отметим точки (0; 1) и (1; 3) на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Одна из найденных точек лежит на оси y, что согласуется со свободным членом b = 1. Вторая показывает, что при увеличении x на единицу y увеличивается на 2. Ответ: график — прямая через точки (0; 1) и (1; 3).

Определите, возрастает или убывает функция y = −3x + 4, найдите точку пересечения её графика с осью y.

Сравним формулу с общим видом y = kx + b, чтобы не принять свободный член за коэффициент наклона. Здесь коэффициент при x отрицательный, а свободный член равен 4. Знак k определяет направление изменения, а b позволяет найти точку на оси y.

1. Сопоставим коэффициенты: k = −3, b = 4.
2. Так как k < 0, функция убывает.
3. Для пересечения с осью y положим x = 0: y = −3 · 0 + 4 = 4.
4. Запишем координаты точки пересечения: (0; 4).

Полученная точка имеет первую координату 0, как и должно быть у любой точки оси y. Отрицательный знак при k указывает на убывание, а не на положение пересечения с осью. Ответ: функция убывает; график пересекает ось y в точке (0; 4).

Найдите формулу линейной функции, график которой проходит через точки (−1; 2) и (3; −6).

Координаты каждой точки графика должны удовлетворять равенству y = kx + b. Подстановка двух пар координат даст два уравнения с неизвестными k и b. Решив их, найдём формулу, а затем проверим, что она подходит обеим точкам.

1. Для точки (−1; 2) запишем: 2 = −k + b.
2. Для точки (3; −6) запишем: −6 = 3k + b.
3. Вычтем первое уравнение из второго: −8 = 4k, поэтому k = −2.
4. Подставим k = −2 в уравнение 2 = −k + b: 2 = 2 + b, откуда b = 0.
5. Получим y = −2x и проверим: при x = 3 выходит y = −6, при x = −1 выходит y = 2.

Обе исходные точки удовлетворяют найденной формуле, значит, вычисления согласуются с условием. Здесь b = 0, поэтому прямая проходит через начало координат. Ответ: y = −2x.

Типичные ошибки

Путают роли k и b и считают, что свободный член задаёт наклон прямой. Это происходит, когда оба числа в формуле воспринимают как одинаковые «коэффициенты». Проверь себя: изменение y при изменении x связано с множителем k, а при x = 0 остаётся только b.

Строят график по одной найденной точке. Но через одну точку можно провести множество прямых, и условие не определит нужную. Для проверки найди значения функции при двух разных x, отметь обе точки и убедись, что проводишь прямую через них.

Определяют возрастание или убывание по знаку b. Свободный член указывает, где график пересекает ось y, поэтому такой вывод неверен. Сопоставь формулу с видом y = kx + b и проверь знак числа именно при x.

Ошибаются при подстановке отрицательного x, например забывают, что произведение двух отрицательных чисел положительно. Причина часто в том, что знак числа теряется при устном вычислении. Подставляй значение в скобках и отдельно считай произведение: например, (−3) · (−2) = 6; затем проверь результат обратным вычислением.

Связь с другими темами

Для работы с линейной функцией нужно уметь подставлять числа в буквенные выражения и отмечать точки на координатной плоскости. Тема опирается на общее понятие функции и построение графика по таблице значений: каждой выбранной координате x соответствует вычисленное значение y. Позже графики линейных функций помогут решать системы уравнений графическим способом. Такие функции также описывают зависимости с постоянной скоростью изменения, например равномерное движение.

Что запомнить

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Для построения прямой достаточно двух точек.
• При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает.
• При x = 0 значение функции равно b.
• Если k = 0, график горизонтален.