"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Функция y = x² каждому числу x ставит в соответствие его квадрат. Её график — парабола с вершиной в начале координат: ветви направлены вверх, а левая и правая части симметричны относительно оси y. Квадрат не бывает отрицательным, поэтому график не опускается ниже оси x. Знание свойств параболы помогает находить значения функции и аргументы, решать уравнения по графику и готовиться к изучению квадратичных функций.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функцией y = x² называют правило, по которому каждому допустимому значению x соответствует значение y, равное квадрату x. Здесь x — аргумент, то есть входное число, а y — значение функции, которое получается по правилу. Например, при x = 3 получаем y = 3² = 9, а при x = −3 — тоже y = 9. Это обозначение удобно тем, что сразу показывает, как вычислить результат для любого выбранного аргумента.
График функции — это множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению y = x². Иными словами, для каждой точки графика её ордината y должна равняться квадрату абсциссы x. Например, точка (2; 4) подходит, потому что 4 = 2², а точка (2; 3) не подходит. По графику можно увидеть, как меняются значения функции, и находить их без вычисления каждого значения отдельно.
Парабола — кривая, которая является графиком функции y = x²; её вершина находится в начале координат, то есть в точке (0; 0). Вершина — точка, в которой график меняет направление: слева от неё значения функции уменьшаются, а справа увеличиваются. Форма параболы помогает заметить свойства функции, например симметрию и наименьшее значение. Поэтому по виду графика можно быстро проверить, согласуются ли с ним вычисления.
Чтобы построить график по таблице, сначала выбирают несколько значений x, затем для каждого находят квадрат и записывают его как y. Например, при x = −2, −1, 0, 1, 2 получаются значения y = 4, 1, 0, 1, 4. На координатной плоскости отмечают точки (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4). Затем проводят через них плавную кривую: точки задают форму графика, но сама парабола не состоит только из этих пяти точек.
Для построения достаточно сначала вычислить значения при неотрицательных x, потому что квадраты противоположных чисел одинаковы: (−x)² = x². Например, числам 2 и −2 соответствует одно и то же значение 4. Значит, если на графике есть точка (2; 4), то на нём должна быть и точка (−2; 4). Такое расположение означает симметрию относительно оси y, поэтому достаточно построить одну половину параболы и зеркально перенести её на другую сторону.
График не опускается ниже оси x, поскольку квадрат любого числа равен нулю или положителен. Равенство x² = 0 возможно только при x = 0, поэтому парабола касается оси x в начале координат, а остальные её точки расположены выше оси. Это позволяет заранее проверить рисунок: часть графика с отрицательными значениями y означала бы ошибку. По той же причине у функции есть наименьшее значение, равное нулю.
Слева от нуля при движении к нему аргумент увеличивается, а значение функции уменьшается: например, от x = −3 к x = −2 значение меняется от 9 к 4. После нуля при увеличении x квадраты, наоборот, становятся больше: от x = 1 к x = 2 значение меняется от 1 к 4. Так объясняется, почему функция убывает на левой половине графика и возрастает на правой. В точке x = 0 она достигает минимума, поэтому направление изменения там меняется.
Чтобы найти значение функции по графику, отмечают заданный x на горизонтальной оси, поднимаются до параболы и считывают соответствующую координату y. Чтобы найти аргументы для заданного значения y, проводят горизонтальную линию на нужной высоте и смотрят, где она пересекает график. У каждой точки пересечения считывают абсциссу x. Если заданное y положительно, обычно получаются два противоположных аргумента — это следует из симметрии параболы.
| Свойство | Описание |
|---|---|
| Область определения | Все действительные числа: x ∈ ℝ. |
| Множество значений | Все неотрицательные числа: y ∈ [0; +∞). |
| Нуль функции | x = 0. |
| Знак функции | y = 0 при x = 0; y > 0 при x ≠ 0. |
| Промежуток убывания | (−∞; 0]. |
| Промежуток возрастания | [0; +∞). |
| Симметрия графика | Относительно оси y. |
| Вершина графика | (0; 0). |
Таблица помогает быстро проверить вычисления и построенный график: например, отрицательное значение y или вершина не в начале координат противоречат свойствам функции. Интервалы убывания и возрастания включают точку 0, где достигается минимум. Если требуется найти аргументы для заданного значения, сначала проверьте, может ли оно вообще быть значением функции: отрицательные числа не подходят.
Задача: постройте график функции y = x², заполнив таблицу значений для x = −2, −1, 0, 1, 2. Сначала вычислим квадрат каждого аргумента, а затем представим пары чисел как координаты точек. Значения для противоположных аргументов должны совпасть, потому что квадрат не зависит от знака числа. По полученным точкам проведём плавную кривую.
Ответ: таблица значений имеет вид: x — −2, −1, 0, 1, 2; y — 4, 1, 0, 1, 4. Полученные точки задают график функции y = x².
Задача: найдите значения x, при которых функция y = x² принимает значение 9. Ищем такие аргументы, квадрат которых равен 9, то есть решаем уравнение x² = 9. У положительного значения 9 есть два противоположных квадратных корня, поэтому проверять нужно обе стороны от нуля. На графике это будут две точки на одной высоте.
Ответ: x = −3 и x = 3. Оба аргумента подходят, потому что возведение в квадрат убирает знак числа.
Задача: сравните значения функции y = x² при x = −3 и x = 2, а затем объясните результат с помощью графика. Не следует сравнивать только сами аргументы: функция зависит от квадратов, а не от их знаков. Сначала вычислим значения, затем соотнесём их с высотой точек на параболе. Так станет понятно, какая точка расположена выше.
Ответ: значение функции при x = −3 больше, чем при x = 2: 9 > 4.
Ошибка: считать, что при отрицательном x значение y тоже отрицательно. Так думают, перенося знак аргумента на результат, но при возведении в квадрат два минуса перемножаются и дают плюс: (−3)² = 9. Проверить себя можно вычислением: квадрат числа — это произведение числа на себя, а оно не может быть отрицательным. Поэтому график y = x² не уходит ниже оси x.
Ошибка: при решении x² = a, где a > 0, указывать только положительный аргумент. Например, ответ x = 3 для уравнения x² = 9 неполон, потому что (−3)² тоже равно 9. Причина ошибки — привычка извлекать только положительный корень. Подставьте найденное значение и его противоположное в исходное уравнение: если оба подходят, укажите оба.
Ошибка: строить параболу несимметричной относительно оси y. Иногда это происходит из-за вычислительной ошибки или из-за того, что точки отмечают неточно. Для проверки сравните значения при x и −x: они должны совпадать, например y(−2) = y(2) = 4. Точки с такими абсциссами должны лежать на одной высоте по разные стороны от оси y.
Ошибка: считать, что функция возрастает на всей числовой прямой. Это неверно, потому что слева от нуля при движении к вершине значения уменьшаются, а после вершины начинают увеличиваться. Чтобы проверить вывод, сравните значения в порядке возрастания x: при переходе от −3 к −2 получаем 9 и 4, а от 1 к 2 — 1 и 4. Значит, промежутки изменения функции нужно разделять в точке 0.
Для работы с функцией y = x² нужно уметь возводить числа в квадрат, пользоваться координатной плоскостью и строить точки по координатам. Эти навыки помогают составить таблицу значений, правильно отметить точки и проверить форму параболы. Если вычисление квадрата или чтение координат вызывает затруднение, полезно сначала повторить именно эти действия. Тогда построение графика станет последовательной работой по известному правилу.
График y = x² пригодится при изучении квадратичной функции и решений квадратных уравнений. С его помощью можно наглядно увидеть, сколько решений имеет уравнение, сравнить значения и найти пересечения графиков. Позже этот подход поможет решать уравнения графически: их корни будут соответствовать абсциссам точек пересечения. Парабола становится основой для понимания более сложных графиков.
Почему график функции y = x² называют параболой?
Кривая, состоящая из точек, координаты которых удовлетворяют уравнению y = x², имеет форму параболы. Её вершина находится в точке (0; 0), а ветви направлены вверх.
Почему график симметричен относительно оси y?
Для противоположных аргументов значения функции одинаковы: (−x)² = x². Поэтому точкам (x; y) соответствует точка (−x; y), расположенная зеркально относительно оси y.
Может ли значение функции y = x² быть отрицательным?
Нет, квадрат любого действительного числа неотрицателен. Значение функции равно нулю только при x = 0, а при остальных x оно положительно.
Как по графику найти аргументы, при которых y = 4?
Проведите горизонтальную линию на высоте y = 4 и найдите точки её пересечения с параболой. Их абсциссы равны −2 и 2, потому что оба числа при возведении в квадрат дают 4.
На каких промежутках функция y = x² убывает и возрастает?
При движении слева к нулю значения функции убывают, а после нуля — возрастают. Поэтому функция убывает на промежутке (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞).
2.4. Функция y = x^2 и её график
