2.5. Функция y = k/x и её график

Определения и обозначения

Обратная пропорциональность — зависимость, заданная формулой y = k/x, где k — ненулевое постоянное число. Это значит, что значения двух величин связаны так, что их произведение не меняется. Такая запись помогает узнавать ситуации, в которых увеличение одной величины сопровождается уменьшением другой.

Функция y = k/x — функция, в которой каждому ненулевому значению x соответствует значение y, равное частному k и x. Здесь x называют аргументом, а y — значением функции. Формула позволяет вычислить y для любого допустимого x и составить таблицу значений.

Коэффициент обратной пропорциональности k — постоянное число, определяющее расположение и ветви графика. Он не может быть равен нулю, иначе формула задавала бы y = 0, а не обратную пропорциональность. По знаку k можно определить четверти, в которых находятся ветви, а по его модулю — насколько они удалены от осей.

Гипербола — график функции y = k/x, состоящий из двух ветвей. Ветви расположены по разные стороны от оси y и не соединяются в точке с x = 0. Название графика нужно, чтобы кратко обозначать его форму и сравнивать графики с разными коэффициентами.

Как это устроено

Значение x = 0 исключают из области определения, потому что при подстановке получается деление на ноль, которое невозможно. Поэтому допустимы все положительные и отрицательные значения x, но не ноль. Это ограничение возникает непосредственно из формулы, а не из способа построения графика.

Умножим обе части равенства y = k/x на x и получим xy = k. Значит, произведение аргумента и значения функции постоянно: если x возрастает по модулю, y должно уменьшаться по модулю, чтобы произведение не изменилось. Например, при k = 12 значения x = 3 и y = 4 дают то же произведение, что x = 6 и y = 2.

График разделён на две ветви, потому что область определения распадается на два промежутка: x < 0 и x > 0, а между ними находится запрещённое значение x = 0. Пересечь ось y гипербола не может, ведь на этой оси x равен нулю. Пересечь ось x она тоже не может: значение y = 0 потребовало бы, чтобы k/x равнялось нулю, а при k ≠ 0 это невозможно.

Если k > 0, то x и y имеют одинаковые знаки: при положительном x получается положительное y, а при отрицательном — отрицательное. Поэтому ветви располагаются в I и III четвертях. Если k < 0, знаки x и y противоположны, и ветви переходят во II и IV четверти.

Модуль коэффициента влияет на расстояние ветвей от координатных осей: при одном и том же x увеличение |k| увеличивает |y|, поэтому соответствующие точки оказываются дальше от оси x. Чтобы увидеть влияние и на расстояние до оси y, можно сравнить точки с одним и тем же |y|: при большем |k| для них требуется большее |x|. Значит, чем больше |k|, тем дальше ветви от обеих осей; при меньшем |k| они ближе к осям.

Функция убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞), если k > 0; при k < 0 она на каждом из них возрастает. График в обоих случаях симметричен относительно начала координат: вместе с точкой (x; y) на нём есть точка (−x; −y). Оси координат называют асимптотами гиперболы: ветви приближаются к ним, но не пересекают.

Свойства функции y = k/x

Сначала найди знак k: по нему можно сразу определить четверти ветвей и знак произведения xy. Затем проверь область определения и множество значений — ноль не входит ни в одно из них. В строке о возрастании и убывании учитывай, что промежуток нужно разделять в точке x = 0.

Разбор задач

Задача 1. Таблица значений и график

Для функции y = 6/x составьте таблицу значений для нескольких ненулевых значений x и изобразите её график. Удобно выбирать значения x, на которые 6 делится без остатка: тогда получатся целые y, и точки будет проще отметить. Возьмём значения x = −6, −3, −2, 2, 3, 6.

1. Подставим x = −6: y = 6/(−6) = −1. Получаем точку (−6; −1).
2. Для x = −3, −2 вычислим y: 6/(−3) = −2 и 6/(−2) = −3. Получаем точки (−3; −2) и (−2; −3).
3. Для x = 2, 3, 6 значения равны 3, 2, 1. Получаем точки (2; 3), (3; 2), (6; 1).
4. Отметим все точки на координатной плоскости и плавно проведём через них две ветви, не соединяя их друг с другом и с осями. Поскольку k = 6 > 0, точки должны лежать в I и III четвертях.

Ответ: таблица содержит пары (−6; −1), (−3; −2), (−2; −3), (2; 3), (3; 2), (6; 1); график — гипербола в I и III четвертях. При построении нельзя соединять ветви через начало координат: x = 0 не входит в область определения. Дополнительную проверку даёт равенство xy = 6 для каждой отмеченной точки.

Задача 2. Коэффициент по точке

График функции y = k/x проходит через точку A(−2; 3). Найдите коэффициент k и запишите формулу функции. Координаты точки принадлежат графику, значит, при x = −2 функция принимает значение y = 3. Подстановка этой пары связывает неизвестный коэффициент с известными числами.

1. Запишем формулу для точки: 3 = k/(−2).
2. Умножим обе части на −2, чтобы избавиться от знаменателя: k = 3 · (−2) = −6.
3. Подставим найденный коэффициент в исходную формулу: y = −6/x.

Ответ: k = −6, формула функции — y = −6/x. Проверка: при x = −2 получаем y = −6/(−2) = 3, то есть координаты точки действительно подходят. Отрицательный коэффициент также согласуется с тем, что точка A находится во II четверти.

Задача 3. Пересечение с прямой y = x

Найдите точки пересечения графика y = 12/x с прямой y = x и определите четверти, в которых они расположены. В точке пересечения обе формулы задают одно и то же значение y, поэтому их можно приравнять. При этом x не может быть равен нулю из-за знаменателя.

1. Приравняем выражения: 12/x = x.
2. Умножим обе части на x, допустимый только при x ≠ 0: 12 = x². Тогда x = −√12 или x = √12, то есть x = −2√3 или x = 2√3.
3. На прямой y = x координаты точки равны, поэтому получаем точки (−2√3; −2√3) и (2√3; 2√3).
4. У обеих координат первой точки знак отрицательный, значит, она находится в III четверти. У второй обе координаты положительные, поэтому она расположена в I четверти.

Ответ: (−2√3; −2√3) и (2√3; 2√3); точки находятся в III и I четвертях соответственно. Проверка: для каждой точки x² = 12, поэтому 12/x = x. Нулевое значение при решении не появилось и в любом случае не могло бы быть решением исходного уравнения.

Типичные ошибки

Включают x = 0 в область определения, потому что воспринимают формулу как обычное выражение и забывают о знаменателе. Но при подстановке нуля возникает деление на ноль, поэтому такая запись не имеет значения. Проверяй каждое значение аргумента: если оно обнуляет знаменатель, его нужно исключить.

Считают, что при k > 0 ветви находятся во II и IV четвертях, путая знак коэффициента с расположением осей. На самом деле при положительном k произведение xy положительно, а значит, x и y одного знака. Для самопроверки возьми простое значение, например x = 1: при k > 0 значение y тоже положительно, и точка попадает в I четверть.

Иногда ветви соединяют через координатные оси или начало координат, чтобы получилась одна непрерывная линия. Так делают, если забывают, что x = 0 недопустим, а y = 0 невозможно при k ≠ 0. Проверяй построение по области определения и множеству значений: гипербола должна состоять из двух отдельных ветвей и не касаться осей.

Полагают, что функция y = k/x возрастает или убывает на всей области определения, не учитывая разрыв при x = 0. Область определения состоит из двух разных промежутков, поэтому поведение функции проверяют на каждом по отдельности. Например, при k > 0 функция убывает на обоих промежутках, а при k < 0 возрастает на обоих; проверяй знак k и не объединяй промежутки через ноль.

Связь с другими темами

Для изучения функции нужны действия с дробями, координатная плоскость, понятие области определения и построение графика по таблице. Обратная пропорциональность связана с прямой пропорциональностью: в одном случае отношение величин постоянно, в другом — их произведение. Сравнение графиков с разными коэффициентами помогает освоить преобразования графиков функций. Гипербола также пригодится при решении уравнений и систем с дробно-рациональными выражениями.

Что запомнить

• Функция обратной пропорциональности задаётся формулой y = k/x, где k ≠ 0.
• Область определения: x ≠ 0; множество значений: y ≠ 0.
• Для всех точек графика выполняется равенство xy = k.
• График функции y = k/x — гипербола из двух ветвей.
• При k > 0 ветви находятся в I и III четвертях.
• При k < 0 ветви находятся во II и IV четвертях.
• Координатные оси являются асимптотами гиперболы.