3.1. Понятие о квадратном корне и об арифметическом квадратном корне

Определения и обозначения

Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a. Например, 4 — квадратный корень из 16, потому что 4² = 16. Чтобы найти корень, нужно выяснить, какое число после возведения в квадрат даст заданное значение. Это обратная задача по отношению к возведению в квадрат.

Арифметический квадратный корень из числа a — неотрицательное число, квадрат которого равен a. В действительных числах он существует, если a ≥ 0. Например, арифметический корень из 16 равен 4, а не −4. Такое уточнение нужно, чтобы при обозначении корня всегда получать одно определённое значение.

Запись √a обозначает арифметический квадратный корень из a. Число или выражение под знаком корня называют подкоренным выражением. Например, в записи √16 подкоренное выражение — 16, а значение всего выражения — 4. Знак корня позволяет кратко записывать неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению.

Квадратными корнями из a называют все числа, квадрат которых равен a. При a > 0 их два, при a = 0 — один, а при a < 0 действительных корней нет. Например, у числа 16 корни 4 и −4, но у числа −16 действительных квадратных корней нет. Это определение помогает отличать набор решений от единственного значения √a.

Как это устроено

Поиск квадратного корня — обратная задача возведению в квадрат. При возведении числа в квадрат мы знаем исходное число и находим результат, а при извлечении корня известен результат и нужно восстановить число. Например, если квадрат неизвестного числа равен 49, нужно найти число, которое при умножении на себя даёт 49. Так можно проверить ответ обратным действием: возвести найденное число в квадрат.

Положительное число имеет два квадратных корня, потому что противоположные числа дают одинаковые квадраты. Если взять число 6, то 6² = 36, а (−6)² тоже равно 36: при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Поэтому нельзя считать, что слово «корень» всегда означает только положительное число. Когда требуется найти все квадратные корни, нужно проверить оба противоположных значения.

Арифметическим называют только неотрицательный корень, чтобы выражение √a имело однозначное значение. Если бы знак √ обозначал сразу два числа, то запись вроде √25 не говорила бы, какое именно число нужно подставить в вычисление. По принятому соглашению √25 = 5, потому что 5 — неотрицательное число и 5² = 25. Отрицательное число −5 остаётся квадратным корнем из 25, но не арифметическим.

Возможность найти корень зависит от знака подкоренного числа. Квадрат положительного или отрицательного действительного числа всегда неотрицателен: число умножается само на себя, а произведение двух чисел одинакового знака положительно. Квадрат нуля равен нулю, поэтому из нуля корень извлечь можно. Отрицательное значение нельзя получить квадратом действительного числа, значит, у такого числа в действительных числах корня нет.

Связь с уравнением видна, если записать условие, что квадрат неизвестного равен a: x² = a. При a ≥ 0 число √a является одним из решений этого уравнения, потому что его квадрат равен a. Если a > 0, второе решение — противоположное число, поэтому x = √a или x = −√a; кратко их записывают как x = ±√a. При a = 0 оба значения совпадают, а при a < 0 действительных решений нет.

Квадратные корни в зависимости от значения подкоренного числа

Сначала сравните подкоренное число с нулём, а затем найдите в таблице подходящую строку. В среднем столбце перечислены все квадратные корни, а в последнем указано значение именно арифметического корня. Поэтому при a > 0 эти столбцы дают разную информацию: корней два, но значение √a одно.

Разбор задач

Задача 1. Найти все квадратные корни из 25.

Нужно найти все числа, квадрат которых равен 25. Так как 25 положительно, ожидаем два противоположных корня. Проверим оба числа, чтобы убедиться, что каждое подходит.

1. Найдём число, квадрат которого равен 25: 5² = 25.
2. Проверим противоположное число: (−5)² = 25, поскольку произведение двух отрицательных чисел положительно.
3. Других корней нет: уравнение x² = 25 при положительной правой части имеет два решения.

Ответ: 5 и −5.

Задача 2. Найти значение выражения √49 − √0.

Здесь записаны арифметические корни, поэтому выбираем неотрицательные значения. Удобно сначала вычислить каждый корень отдельно и только после этого выполнить вычитание. Проверка помогает не перепутать значение корня со всеми корнями подкоренного числа.

1. Так как 7² = 49 и 7 неотрицательно, √49 = 7.
2. Квадрат нуля равен нулю, поэтому √0 = 0.
3. Подставим найденные значения: √49 − √0 = 7 − 0 = 7.

Ответ: 7.

Задача 3. Решить уравнение x² = 36 и определить, имеет ли y² = −9 действительные решения.

В первом уравнении нужно найти все числа, квадрат которых равен положительному числу 36. Во втором квадрат неизвестного должен был бы равняться отрицательному числу −9. Разберём уравнения отдельно, учитывая знак правой части.

1. Так как 6² = 36, одним решением первого уравнения является x = 6.
2. Поскольку (−6)² = 36, есть и второе решение: x = −6. Значит, x = ±6.
3. Для второго уравнения проверим, каким может быть квадрат действительного числа y. Он всегда неотрицателен, поэтому равенство y² = −9 невозможно.

Ответ: x = 6 и x = −6; уравнение y² = −9 не имеет действительных решений.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать √25 = ±5. Так происходит, когда знак корня путают с поиском всех чисел, квадрат которых равен 25. Но √ обозначает только арифметический, неотрицательный корень, поэтому √25 = 5. Проверьте себя: значение знака корня не может быть отрицательным.

Ошибка: указывать для уравнения x² = 25 только x = 5. Часто находят арифметический корень и забывают, что уравнение требует найти все числа с нужным квадратом. Число −5 тоже подходит, ведь (−5)² = 25. Подставьте каждое предполагаемое решение в исходное уравнение — так обнаружится пропущенный корень.

Ошибка: считать, что у отрицательного числа есть квадратный корень среди действительных чисел. Такое предположение может возникнуть из-за того, что квадратный корень ищут по аналогии с другими обратными действиями. Однако квадрат любого действительного числа неотрицателен. Перед извлечением корня сравните подкоренное число с нулём: при отрицательном значении действительного корня нет.

Ошибка: забывать, что √0 = 0, или приписывать нулю два различных корня. Ноль иногда рассматривают как число и как противоположное ему число, но 0 и −0 совпадают. Поэтому у нуля только один квадратный корень, и √0 тоже равно нулю. Для проверки можно возвести ноль в квадрат: результат снова будет равен нулю.

Связь с другими темами

Для работы с квадратными корнями нужно знать, что такое квадрат числа, противоположные числа и действительные числа. Эти понятия помогают проверять корни и понимать, почему два противоположных числа имеют одинаковые квадраты. Знание знаков чисел позволяет выяснить, существует ли корень в действительных числах. Позже арифметический квадратный корень понадобится при решении квадратных уравнений и упрощении выражений с корнями.

Что запомнить

• Квадратный корень из a — число, квадрат которого равен a.
• У положительного числа два квадратных корня.
• У нуля один квадратный корень: 0.
• Отрицательное число не имеет квадратного корня среди действительных чисел.
• √a обозначает только неотрицательный корень и определён при a ≥ 0.
• При a > 0 уравнение x² = a имеет решения x = √a и x = −√a.