"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу. Если точный корень нельзя удобно записать, его заменяют приближённым значением. Чтобы найти такое значение, сравнивают подкоренное число с квадратами целых чисел, а затем — с квадратами десятичных дробей. Так устанавливают границы корня, уточняют его по десятым и сотым и выбирают приближение с недостатком или избытком.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический квадратный корень из числа b — это неотрицательное число, квадрат которого равен b; его обозначают √b. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9, а отрицательное число −3 арифметическим корнем не является. Это определение помогает понять, какое именно значение ищут под знаком корня.
Приближённое значение квадратного корня — число, близкое к точному значению √b и используемое вместо него. Например, точный корень из 2 нельзя записать конечной десятичной дробью, поэтому в вычислениях можно использовать 1,41. Приближение удобно, когда точное значение трудно применять в дальнейших расчётах.
Приближение с недостатком — значение, которое меньше точного корня. Например, 1,4 меньше √2, поэтому это приближение с недостатком. Такое обозначение нужно, когда условие требует взять значение ниже корня, а не просто ближайшее число.
Приближение с избытком — значение, которое больше точного корня. Например, 1,5 больше √2, значит, это приближение с избытком. Различие между двумя видами приближений определяется их положением относительно корня, а не количеством знаков после запятой.
Подкоренное число часто находится между квадратами двух целых чисел. Если сразу увидеть эти границы, можно ограничить возможное значение корня и не проверять случайные числа. Например, для √20 достаточно заметить, что 4² < 20 < 5², значит, корень находится между 4 и 5.
Чтобы проверить предполагаемое значение корня, сравнивают с подкоренным числом именно его квадрат. Это работает потому, что для неотрицательных чисел возведение в квадрат сохраняет порядок: если кандидат меньше корня, его квадрат меньше подкоренного числа. Если квадрат кандидата больше подкоренного числа, кандидат больше корня.
Когда целые границы найдены, между ними подбирают числа с десятыми долями. Сравнение квадратов показывает, какая десятая уже превышает корень, а какая ещё меньше него. Например, для √7 можно проверить 2,6 и 2,7: их квадраты равны 6,76 и 7,29, поэтому 2,6 < √7 < 2,7.
Чтобы получить более точное значение, промежуток сужают: после десятых проверяют сотые доли. Каждая новая цифра позволяет выбрать меньший отрезок, содержащий корень, поэтому приближение становится точнее. При этом нельзя полагаться лишь на внешний вид цифр: границы подтверждают сравнением квадратов кандидатов с подкоренным числом.
Записывают корень между найденными границами, например 2,6 < √7 < 2,7. Если требуется приближение с недостатком, выбирают нижнюю границу, а если с избытком — верхнюю. Так условие задачи определяет, какую сторону промежутка нужно использовать, а проверенные границы не дают перепутать направление.
| Что требуется | Как действовать | Как проверить результат |
|---|---|---|
| Найти целые границы корня | Подобрать соседние целые числа, квадраты которых охватывают подкоренное число. | Проверить неравенство a² < b < c². |
| Найти границы с точностью до десятых | Проверить квадраты десятичных чисел с одним знаком после запятой. | Убедиться, что подкоренное число находится между квадратами соседних десятых. |
| Уточнить корень до сотых | Продолжить подбор, проверяя числа с двумя знаками после запятой. | Сравнить квадраты нижней и верхней сотых границ с подкоренным числом. |
| Получить приближение с недостатком или избытком | Выбрать нижнюю или верхнюю найденную границу соответственно. | Установить, что выбранное число меньше или больше корня. |
Пользуйтесь строками по порядку: сначала ограничьте корень целыми числами, затем при необходимости уточните границы. В последней строке выберите сторону, которую требует задача. Каждый переход к более мелкому разряду проверяйте квадратами.
Задача 1. Определите, между какими целыми числами находится √20. Нужно подобрать целые числа, квадраты которых окажутся по разные стороны от 20. Начать удобно с квадратов 4 и 5, поскольку 20 близко к квадрату 4, но может быть меньше квадрата следующего числа. Проверка даст нужные границы.
Ответ: √20 находится между 4 и 5. Само сравнение показывает границы, но не утверждает, что корень равен одному из этих целых чисел. Для более точного значения нужно проверить десятичные кандидаты.
Задача 2. Найдите приближение √7 с точностью до десятых. Сначала ограничим корень целыми числами: 2² = 4, а 3² = 9, поэтому он между 2 и 3. Теперь проверим десятые внутри этого промежутка, пока квадраты двух соседних кандидатов не окажутся по разные стороны от 7. Такой шаг покажет значение корня до десятых.
Ответ: с точностью до десятых корень находится между 2,6 и 2,7; его приближение до десятых — 2,6 или 2,7 в зависимости от принятого способа записи и требуемого условия. Если требуется только указать границы, достаточно неравенства. Здесь 2,6 — приближение с недостатком, а 2,7 — с избытком.
Задача 3. Найдите приближение √2 с точностью до сотых и укажите приближение с недостатком. Квадраты 1 и 2 дают целые границы, а проверка десятых сужает промежуток до 1,4 и 1,5. Чтобы перейти к сотым, проверим кандидатов между этими числами; нижнюю границу затем можно назвать приближением с недостатком. Проверять нужно именно квадраты, а не сами кандидаты.
Ответ: 1,41 < √2 < 1,42; приближение с недостатком — 1,41. Квадрат нижней границы меньше 2, а квадрат верхней — больше 2, поэтому порядок выбран верно. Полученные сотые границы точнее, чем границы с десятыми.
Первая ошибка — считать корень равным ближайшему целому числу. Округление не доказывает ни положение корня, ни требуемую точность, поэтому ближайшее целое может оказаться неподходящим ответом. Проверяйте соседние квадраты и записывайте границы корня.
Вторая ошибка — сравнивать с подкоренным числом сам предполагаемый корень, а не его квадрат. Так нельзя определить положение кандидата: например, 2,6 и 7 сравниваются напрямую, но это не говорит о том, насколько 2,6 близко к √7. Возведите кандидата в квадрат и сравните результат с подкоренным числом.
Третья ошибка — перепутать приближение с недостатком и с избытком. Такое случается, если выбрать число только по его десятичной записи, не установив границ корня. Сначала запишите неравенство, затем выберите нижнее значение для недостатка или верхнее для избытка.
Четвёртая ошибка — записывать десятичную границу как точное равенство. Если квадрат выбранного числа не равен подкоренному числу, корень этим числом не найден точно, даже если запись выглядит убедительно. Для самопроверки возведите кандидата в квадрат: при неравенстве квадратов запишите знак приближения или границы, а не знак равенства.
Для работы с приближёнными корнями нужно уметь возводить целые числа и десятичные дроби в квадрат, сравнивать числа и пользоваться определением арифметического квадратного корня. Эти навыки позволяют обосновать каждую границу, а не выбирать её наугад. Если сравнения квадратов ещё вызывают затруднения, стоит повторить эти действия.
Приближённые значения нужны при вычислениях с иррациональными числами — числами, которые нельзя точно записать конечной десятичной дробью. Вместо неудобного точного корня используют его приближение, сохраняя нужную точность расчёта. Например, √2 можно заменить десятичным значением, если дальнейшее вычисление требует числового ответа.
Как определить, между какими целыми числами находится квадратный корень?
Найдите квадраты соседних целых неотрицательных чисел, между которыми находится подкоренное число. Если a² < b < c², то a < √b < c.
Почему при поиске приближения нужно возводить кандидата в квадрат?
Квадрат кандидата можно напрямую сравнить с подкоренным числом. Для неотрицательных чисел большему квадрату соответствует большее число, поэтому сравнение показывает, меньше или больше кандидат, чем корень.
Как уточнить значение корня до десятых или сотых?
После того как найдены целые границы, подбирайте десятичные кандидаты и сравнивайте их квадраты с подкоренным числом. Для сотых продолжайте подбор после десятых, добавляя цифры в разряд сотых.
Чем приближение с недостатком отличается от приближения с избытком?
Приближение с недостатком меньше точного значения корня, а с избытком — больше. Определить это можно по границам, между которыми находится корень.
Как проверить, что приближение получено с нужной точностью?
Проверьте квадрат выбранного десятичного числа и сравните его с подкоренным числом. Для точности до десятых найдите соседние десятичные границы с шагом 0,1, а для сотых — с шагом 0,01.
3.2. Приближённое извлечение арифметических квадратных корней
