"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Функция y = √x каждому неотрицательному числу x ставит в соответствие его арифметический квадратный корень. Она определена только при x ≥ 0 и принимает только неотрицательные значения. Её график начинается в начале координат, проходит через точки (1; 1), (4; 2), (9; 3) и плавно возрастает. Свойства функции помогают строить график, оценивать значения и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Его обозначают √a, причём выражение имеет смысл только при a ≥ 0. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9, а число −3 не считается значением √9: знак корня обозначает именно неотрицательный корень.
Функцией квадратного корня называют зависимость, заданную формулой y = √x. Каждому допустимому x соответствует одно значение y — арифметический квадратный корень из x. Это правило помогает определить, какое число нужно поставить в соответствие аргументу: например, при x = 16 получаем y = 4.
Область определения функции y = √x — все значения аргумента, при которых формула имеет смысл. Для этой функции это x ≥ 0, то есть все неотрицательные числа. Зная область определения, можно сразу понять, какие точки допустимо искать на графике и какие значения нельзя подставлять в формулу.
Множество значений функции y = √x — все значения, которые может принимать y. Поскольку арифметический квадратный корень неотрицателен, множество значений задаётся условием y ≥ 0. Оно показывает, какие координаты по вертикали встречаются у точек графика.
Подкоренное выражение функции y = √x — это x. Арифметический квадратный корень определён, только если под ним стоит число не меньше нуля, поэтому для аргумента требуется условие x ≥ 0. Это и есть область определения функции: отрицательные числа в неё не входят, а ноль и все положительные числа входят.
Значение функции не может быть отрицательным, поскольку √x по определению является неотрицательным числом. Кроме того, при x ≥ 0 число √x возводится в квадрат и даёт x: (√x)² = x. Например, если x = 25, то √25 = 5, и 5² = 25; это свойство связывает значение функции с её аргументом.
Чтобы построить график, составим таблицу, выбирая для x полные квадраты — числа, корни из которых легко найти. При x = 0, 1, 4, 9 получаем y = 0, 1, 2, 3, поэтому отмечаем точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3). Между ними проводят плавную линию, не соединяя точки отрезками: значения функции меняются непрерывно.
График начинается в точке (0; 0), потому что √0 = 0, а при отрицательных x функция не определена. Все её значения неотрицательны, поэтому график расположен на уровне y ≥ 0; вместе с x ≥ 0 это означает, что он лежит в первой четверти и включает начало координат. Если x увеличивается, его арифметический квадратный корень тоже увеличивается, поэтому функция возрастает на всей области определения.
Точки (1; 1), (4; 2) и (9; 3) легко проверить по формуле: √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3. Для числа между отмеченными значениями можно оценить результат по графику: например, при x = 5 значение √5 расположено между 2 и 3, так как 4 < 5 < 9. По высоте точки на кривой можно приблизительно определить значение функции, а по её горизонтальной координате — аргумент.
| Свойство | Характеристика |
|---|---|
| Область определения | x ≥ 0 |
| Множество значений | y ≥ 0 |
| Наименьшее значение | 0 при x = 0 |
| Знак функции | y ≥ 0; y = 0 при x = 0, y > 0 при x > 0 |
| Монотонность | Возрастает на всей области определения |
| Точки графика для построения | (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4) |
Сначала по области определения проверьте, можно ли подставить выбранный x, а затем по множеству значений — может ли получиться такое y. Для построения графика используйте удобные точки из последней строки и учитывайте, что между ними линия возрастает. Таблица также помогает быстро проверить, согласуется ли найденная точка со свойствами функции.
Под корнем находится выражение x − 3, поэтому оно должно быть неотрицательным. Решим это условие, а затем запишем все подходящие значения аргумента.
Ответ: область определения — x ≥ 3.
Для таблицы выбираем неотрицательные полные квадраты: так корни находятся точно, и вычисления проще проверить. Каждая пара значений x и y задаёт точку графика. После нанесения точек их соединяют плавной возрастающей линией.
Ответ: график проходит через указанные точки, начинается в (0; 0) и возрастает.
В точке пересечения значения функций равны, поэтому приравняем правые части. Перед возведением в квадрат учтём, что x ≥ 0, а выражение √x неотрицательно, значит, x − 2 тоже должно быть неотрицательным. После решения квадратного уравнения проверим кандидатов в исходном равенстве.
Ответ: графики пересекаются в точке (4; 2).
Ошибка: считать, что √x существует при любом x. Так думают, если забывают условие для арифметического корня; при отрицательном x действительного числа, квадрат которого равен x, нет. Перед вычислением проверьте, что подкоренное выражение неотрицательно, а в функции y = √x запишите условие x ≥ 0.
Ошибка: приписывать функции отрицательные значения, например считать, что √4 = −2. Путаница возникает из-за уравнения y² = 4, у которого действительно два решения: 2 и −2. Но знак корня обозначает только арифметический, то есть неотрицательный, корень; проверьте результат возведением в квадрат и условием y ≥ 0.
Ошибка: строить график по неудобным значениям x и получать неверные приближения корней. Часто это происходит из-за спешки или попытки сразу найти точки для случайных аргументов. Выберите полные квадраты, вычислите корни точно и проверьте каждую координату подстановкой в y = √x.
Ошибка: не проверять корни уравнения с корнем после возведения обеих частей в квадрат. При таком преобразовании могут появиться числа, которые не подходят исходному равенству или его ограничениям. Подставьте каждое найденное значение в исходное уравнение и отбросьте те, для которых равенство неверно.
Для изучения функции нужны определение арифметического квадратного корня и свойства корней: они позволяют вычислять значения и понимать, при каких x формула имеет смысл. Также понадобятся координатная плоскость и умение отмечать точки по их координатам — без этого нельзя построить график. Позже график квадратного корня поможет читать и сравнивать графики, решать уравнения графическим способом и изучать преобразования функций. Поэтому важно связывать формулу, таблицу значений и изображение на координатной плоскости.
Почему функция y = √x не определена при отрицательных x?
Арифметический квадратный корень определён только из неотрицательного числа. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому при x < 0 значение √x не существует среди действительных чисел.
Может ли значение функции y = √x быть отрицательным?
Нет. По определению арифметический квадратный корень — неотрицательное число. Например, уравнение y² = 4 имеет решения 2 и −2, но √4 равно только 2.
Как выбрать точки для построения графика?
Удобно брать такие значения x, из которых извлекается целый корень: 0, 1, 4, 9, 16. Тогда получаются точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).
Почему график функции начинается в начале координат?
При x = 0 значение функции равно √0 = 0, поэтому график проходит через точку (0; 0). Значения x меньше нуля недопустимы, так что график не продолжается влево от этой точки.
Как проверить корни, найденные после возведения уравнения с корнем в квадрат?
Подставьте каждый найденный корень в исходное уравнение, а не только в уравнение после возведения в квадрат. Проверьте, что обе части равны и выполнены ограничения на переменную. Корень, не прошедший проверку, является посторонним.
3.3. Функция y = x^(1/2) и её график
