"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Арифметический квадратный корень помогает находить неотрицательное число, квадрат которого равен заданному числу. Его свойства позволяют заменять корень произведения произведением корней, а корень частного — частным корней. Эти правила упрощают вычисления и выражения: если выделить под корнем полный квадрат, его корень можно вынести наружу. Для применения свойств нужно следить, чтобы подкоренные числа были допустимыми.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a; его обозначают √a. Подкоренное число a должно быть неотрицательным, иначе корень не определён среди действительных чисел. Например, √25 = 5, поскольку 5² = 25. Это определение помогает проверять значение корня и не забывать о допустимых числах.
Корень произведения — правило, по которому корень из произведения двух неотрицательных чисел заменяют произведением их арифметических корней: √(ab) = √a · √b. Числа a и b должны быть неотрицательными. Такое представление удобно, когда корни отдельных множителей вычислить легче, чем корень всего произведения. Например, произведение можно разложить на множители с известными корнями.
Корень частного — правило, позволяющее представить корень из частного как частное арифметических корней: √(a/b) = √a/√b. Здесь a ≥ 0, а b > 0: знаменатель не может быть нулём. Это свойство упрощает вычисление дробей под знаком корня, если корни числителя и знаменателя известны. Условия нужны, чтобы все выражения были определены.
Чтобы обосновать свойство произведения, проверим, что произведение √a · √b подходит под определение арифметического корня из ab. При a ≥ 0 и b ≥ 0 оба корня неотрицательны, поэтому и их произведение неотрицательно. Его квадрат равен (√a · √b)² = a · b. Значит, это именно неотрицательное число, квадрат которого равен ab, то есть √(ab).
Для свойства частного рассуждаем похожим образом, но дополнительно учитываем знаменатель. При a ≥ 0 и b > 0 числа √a и √b определены, а √b не равно нулю, поэтому частное существует. Оно неотрицательно, и его квадрат равен (√a/√b)² = a/b. Следовательно, частное корней совпадает с арифметическим корнем из a/b; условие b > 0 исключает деление на ноль.
Свойства можно применять и в обратном направлении: искать под корнем множители, которые являются полными квадратами. Если ab — неотрицательное произведение, то √(ab) можно заменить на √a · √b, а корень полного квадрата вычислить. Например, из √(36 · 2) получаем 6√2. Вынесенный множитель берут неотрицательным: в общем случае √(a²) = |a|.
Чтобы упростить корень, разложи подкоренное число на множители и выдели среди них полные квадраты. Например, 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3; пары одинаковых множителей образуют квадраты 4 и 9. Тогда √72 = √(4 · 9 · 2) = 2 · 3 · √2 = 6√2. Если в разложении остаётся множитель без пары, его оставляют под знаком корня.
Перед применением любого свойства проверь допустимость выражения. В корне произведения каждый подкоренный множитель должен быть неотрицательным, а в корне частного числитель должен быть неотрицательным и знаменатель — положительным. Если исходное выражение содержит дробь, знаменатель также нельзя приравнивать к нулю. Проверка условий не позволяет получить равенство для выражений, которые не определены.
| Свойство | Условия | Формула | Пример |
|---|---|---|---|
| Корень произведения | a ≥ 0, b ≥ 0 | √(ab) = √a · √b | √(9 · 16) = 3 · 4 = 12 |
| Корень частного | a ≥ 0, b > 0 | √(a/b) = √a/√b | √(25/9) = 5/3 |
| Извлечение полного квадрата из-под корня | m ≥ 0, n ≥ 0 | √(m²n) = m√n | √(36 · 2) = 6√2 |
Сначала смотри на условия: равенство с корнем частного требует ненулевого знаменателя. Затем выбери свойство, которое соответствует выражению, и проверь, можно ли вычислить отдельные корни. При упрощении произведения выделяй полный квадрат, оставляя остальные множители под корнем.
Задача 1. Вычислите √(9 · 16), используя свойство корня произведения. Оба множителя неотрицательны, значит, свойство применимо. Разделим вычисление на два простых корня, а затем перемножим результаты.
Ответ: 12. Мы заменили корень произведения произведением корней, так как оба подкоренных числа допустимы.
Задача 2. Упростите √72, выделив наибольший возможный полный квадрат. Разложим 72 на множители так, чтобы один из них был квадратом. Наибольший полный квадрат, на который делится 72, — 36.
Ответ: 6√2. Дальше упростить корень нельзя: число 2 не содержит множителей, являющихся полными квадратами, кроме 1.
Задача 3. Упростите √(225/400) и проверьте допустимость свойства корня частного. Числитель и знаменатель положительны, а знаменатель не равен нулю, поэтому выражение допустимо и свойство применимо. Извлечём корни отдельно, затем сократим полученную дробь.
Ответ: 3/4. Условие о ненулевом знаменателе соблюдено, поскольку под корнем в знаменателе стоит число 400.
Ошибка: извлекать корень из отрицательного подкоренного числа. Так поступают, забывая, что арифметический корень в действительных числах определён только при подкоренном числе не меньше нуля. Проверяй знак подкоренного выражения до вычислений: √(−9) не является действительным числом.
Ошибка: считать, что √(a + b) = √a + √b. Правило для произведения нельзя переносить на сумму, хотя запись может казаться похожей. Проверь на примере: √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7, поэтому равенство неверно.
Ошибка: забывать условие b ≠ 0 для корня частного. При нулевом знаменателе дробь не определена, значит, применять формулу нельзя. Перед преобразованием проверь, что знаменатель положителен; в формуле √(a/b) = √a/√b требуется b > 0.
Ошибка: записывать √(a²) = a при любом a. Это делают, забывая, что арифметический корень неотрицателен, тогда как a может быть отрицательным. Проверка на a = −3 даёт √((−3)²) = 3, поэтому верная формула — √(a²) = |a|.
Для работы со свойствами нужно знать определение арифметического квадратного корня, правила умножения и деления чисел и уметь распознавать полные квадраты. Без этих знаний трудно проверить допустимость выражения или понять, какие множители можно извлечь из-под корня. Разложение на простые множители помогает находить квадраты даже в числах, которые не сразу узнаются.
Эти свойства применяют при вычислении значений выражений и упрощении выражений с корнями. Позже они помогут преобразовывать иррациональные выражения и решать уравнения, содержащие квадратные корни. В каждом случае сначала проверяют условия, а затем выбирают подходящее преобразование.
Почему корень из произведения можно представить как произведение корней?
Произведение √a · √b неотрицательно, если a и b неотрицательны. Его квадрат равен a · b, поэтому по определению оно и есть арифметический квадратный корень из ab.
Можно ли извлекать корень из отрицательного числа?
В действительных числах арифметический квадратный корень определён только для неотрицательного подкоренного числа. Поэтому, например, √(−9) не является действительным числом.
Почему нельзя раскрыть корень суммы по правилу корня произведения?
Правило √(ab) = √a · √b доказано для произведения, а не для суммы. Например, √(9 + 16) = 5, но √9 + √16 = 7.
Как понять, какой множитель можно вынести из-под корня?
Нужно найти среди множителей подкоренного числа полный квадрат — число вида n². Его корень можно вынести: например, √(72) = √(36 · 2) = 6√2.
Почему √(a²) не всегда равно a?
Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, а число a может быть отрицательным. Поэтому √(a²) = |a|: например, √((−3)²) = 3, а не −3.
3.4. Свойства арифметических квадратных корней
