3.5. Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни

Определения и обозначения

Арифметическим квадратным корнем из числа a называют неотрицательное число, квадрат которого равен a. Его обозначают √a; например, √25 = 5, потому что 5² = 25. Под знаком корня может стоять только неотрицательное число: √a имеет смысл при a ≥ 0. Это определение помогает проверить результат возведением в квадрат и не перепутать арифметический корень с двумя решениями уравнения x² = a.

Выражение под знаком √ называют подкоренным выражением, а число или выражение после знака равенства — значением корня. Например, в √(3x + 1) подкоренное выражение — 3x + 1, поэтому для существования корня нужно, чтобы 3x + 1 ≥ 0. Проверка этого условия нужна до преобразований: иначе можно получить запись, которая не имеет смысла при выбранном значении переменной.

Свойства квадратных корней — это равенства, которые позволяют преобразовать корни произведения и частного или изменить вид множителя. Например, √(ab) = √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0. Условия рядом с формулами не случайны: они гарантируют, что оба корня определены и равенство сохраняется.

Как это устроено

Корень из произведения можно представить как произведение корней: √(ab) = √a · √b, если a ≥ 0 и b ≥ 0. Причина в том, что произведение √a · √b неотрицательно, а его квадрат равен ab: (√a · √b)² = ab. Значит, по определению это арифметический квадратный корень из ab. Свойство удобно, когда один множитель подкоренного выражения является полным квадратом: например, √12 = √(4 · 3) = 2√3.

Аналогично работает свойство корня из частного: √(a/b) = √a/√b при a ≥ 0 и b > 0. Если возвести дробь √a/√b в квадрат, получится a/b, а сама дробь неотрицательна; поэтому она и является нужным корнем. Условие b > 0 исключает деление на ноль. Это свойство применяют, чтобы упростить дробь с корнями или разделить подкоренное выражение на удобные множители.

Вынося множитель из-под корня, ищут полный квадрат. Например, поскольку 20 = 4 · 5, получаем √20 = √4 · √5 = 2√5. В общем виде при m ≥ 0 и a ≥ 0 верно √(m²a) = m√a: квадрат множителя m можно извлечь из-под корня. Если подкоренное число не раскладывается на удобные множители, дальнейшее упрощение может быть невозможно.

Внести неотрицательный множитель под знак корня можно по обратному правилу: m√a = √(m²a) при m ≥ 0 и a ≥ 0. Множитель при этом обязательно возводят в квадрат, ведь под корнем должно оказаться число, квадратный корень из которого равен исходному произведению. После упрощения радикалов складывают только одинаковые: 2√3 + 5√3 = 7√3. Это похоже на сложение одинаковых буквенных слагаемых, но сначала каждый корень нужно привести к простому виду.

Свойства для преобразования выражений

В таблице сначала найдите вид преобразования, который подходит к выражению, а затем проверьте условия у формулы. При сложении корней сначала упростите каждый из них: радикалы с разными подкоренными числами могут оказаться одинаковыми после выноса множителя. Записывайте промежуточные шаги — так легче заметить, где нарушено условие или потерян множитель.

Разбор задач

Упростим выражение 2√12 + √27 − √3. Нужно представить подкоренные числа как произведения полного квадрата и оставшегося множителя. После извлечения квадратных корней сравним полученные радикалы и выполним действия с коэффициентами. Все подкоренные числа положительны, поэтому свойства произведения можно применять без дополнительных ограничений.

1. Разложим 12 на 4 · 3, где 4 — полный квадрат. Тогда √12 = √(4 · 3) = 2√3, и первое слагаемое становится 2 · 2√3 = 4√3.
2. Разложим 27 на 9 · 3. Получим √27 = √(9 · 3) = 3√3. Теперь каждый корень в выражении записан через √3.
3. Подставим результаты: 4√3 + 3√3 − √3. Перед одинаковым корнем стоят коэффициенты 4, 3 и 1, поэтому можно сложить и вычесть именно их.
4. Выполним действия: (4 + 3 − 1)√3 = 6√3. Подкоренное число 3 не содержит множителя, являющегося полным квадратом больше 1, значит, дальше вынести множитель нельзя.

Ответ: 6√3.

Рассмотрим также дробь √48/√3. По свойству частного её можно записать как √(48/3), потому что оба подкоренных числа неотрицательны, а знаменатель √3 не равен нулю. Получаем √16 = 4. Такой способ сокращает вычисления; результат можно проверить, так как 4² = 16.

Типичные ошибки

• Складывать подкоренные числа: √2 + √3 ошибочно превращать в √5. Так поступают, перенося на корни правило, которого у них нет; произведение корней преобразуется по свойству, а сумма — нет. Для проверки приблизительно оцените значения: √2 + √3 больше 3, а √5 меньше 3, значит, равенство невозможно.

• Считать, что √(a²) = a при любом a. Это верно только при a ≥ 0, потому что арифметический корень неотрицателен; в общем случае √(a²) = |a|. Подставьте отрицательное число: например, √((-3)²) = 3, а не −3.

• Выносить множитель, который не является полным квадратом, без изменения записи: из √12 нельзя получить 3√1. Ошибка возникает, если разложение подкоренного числа не проверяют умножением; верный шаг — √12 = √(4 · 3) = 2√3. Возведите вынесенный коэффициент в квадрат и проверьте, что исходное подкоренное число восстановилось.

• Применять свойства без проверки условий, например делить на корень из нуля или извлекать корень из отрицательного числа. Сначала установите, что подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатель положителен. Подстановка допустимого значения переменной помогает обнаружить, что исходная запись не определена.

Связь с другими темами

Преобразование корней опирается на умножение, деление, разложение числа на множители и знание квадратов натуральных чисел. Полные квадраты помогают быстро находить множители, которые можно вынести из-под знака корня. Сложение подобных радикалов связано с приведением подобных слагаемых в буквенных выражениях: сначала приводят записи к одинаковому виду, затем действуют с коэффициентами.

Квадратные корни также связаны с уравнением x² = a. При a > 0 у него два решения, √a и −√a, но знак √ обозначает только неотрицательное значение. Это различие понадобится при решении уравнений и неравенств, а также при вычислении выражений с переменными: условия на переменные определяют, какие преобразования допустимы.

Что запомнить

• Арифметический корень √a определён при a ≥ 0 и всегда неотрицателен.
• Для произведения и частного проверяй условия: √(ab) = √a · √b; √(a/b) = √a/√b при b > 0.
• Выноси из-под корня полный квадрат: √(m²a) = m√a при m ≥ 0.
• Перед сложением упрости радикалы; складывать можно только одинаковые корни.
• Не заменяй √(a²) на a без условия a ≥ 0 и проверяй область допустимых значений.