"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Квадратным называют уравнение, в котором старшая степень переменной равна двум: ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Его корни — значения переменной, при которых равенство становится верным. Чтобы решать такие уравнения, сначала определяют коэффициенты и приводят запись к стандартному виду. Неполные уравнения решают с помощью извлечения корня или разложения на множители; эти приёмы пригодятся и в более сложных задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Условие a ≠ 0 обязательно: иначе слагаемое с x² исчезнет, а уравнение перестанет быть квадратным. Стандартная запись помогает увидеть его устройство и выбрать способ решения.
Коэффициенты квадратного уравнения — числа a, b и c в стандартной записи ax² + bx + c = 0. Их определяют вместе со знаками: например, в x² − 5x + 6 = 0 имеем a = 1, b = −5, c = 6. Коэффициенты показывают, какие слагаемые входят в уравнение и с какими числами они связаны.
Корень квадратного уравнения — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Например, если число подходит уравнению, после замены x этим числом обе части совпадают. У квадратного уравнения может быть один, несколько или ни одного действительного корня, поэтому найденные значения нужно проверять.
Неполное квадратное уравнение — уравнение, в котором коэффициент b или c равен нулю. К таким видам относятся ax² + c = 0, ax² + bx = 0 и ax² = 0, где a ≠ 0. Отсутствие одного или двух слагаемых упрощает решение: можно выразить x² или вынести x за скобки.
Чтобы привести уравнение к стандартному виду, раскройте скобки, если они есть, и перенесите все слагаемые в одну часть, а в другой оставьте ноль. При переносе через знак равенства слагаемое меняет знак, потому что к обеим частям прибавляют или из обеих частей вычитают одно и то же выражение. Затем приведите подобные слагаемые и расположите члены по степеням x: сначала x², потом x, затем свободный член. Так проще правильно прочитать коэффициенты a, b и c.
Если a ≠ 0, уравнение ax² + bx + c = 0 можно разделить на a, получив x² + (b/a)x + c/a = 0. Деление обеих частей равенства на одно и то же ненулевое число не меняет его истинность: равные выражения останутся равными. Поэтому значения x, подходящие исходному уравнению, подходят и полученному, и наоборот. Это позволяет записать квадратное уравнение с коэффициентом 1 при x².
Уравнение ax² + c = 0 решают, сначала оставляя слагаемое с x² в одной части: ax² = −c. Поскольку a не равно нулю, обе части можно разделить на a и получить x² = −c/a. Если правая часть положительна, подходят два противоположных значения x; если равна нулю — только x = 0; если отрицательна — действительных корней нет. Причина в том, что квадрат любого действительного числа неотрицателен.
В уравнении ax² + bx = 0 оба слагаемых содержат x, поэтому его можно вынести за скобки: x(ax + b) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит, рассматривают два уравнения: x = 0 и ax + b = 0. Такой способ особенно удобен, потому что не нужно отдельно извлекать квадратный корень.
Некоторые полные квадратные уравнения можно разложить на множители, то есть представить в виде произведения выражений со скобками. После этого произведение приравнивают к нулю и находят значения x из каждого множителя. Например, трёхчлен x² − 5x + 6 раскладывается в (x − 2)(x − 3), поскольку при раскрытии скобок получается исходное выражение. Проверка подстановкой показывает, действительно ли найденные значения обращают исходное уравнение в верное равенство.
| Вид уравнения | Как распознать | Основной способ решения |
|---|---|---|
| Полное квадратное уравнение | a ≠ 0, b ≠ 0 и c ≠ 0 | Разложить трёхчлен на множители, если это возможно |
| Неполное: свободный член равен нулю | ax² + bx = 0, b ≠ 0 | Вынести x за скобки и приравнять множители к нулю |
| Неполное: коэффициент при x равен нулю | ax² + c = 0, c ≠ 0 | Выразить x² и учесть знак правой части |
| Неполное: оба коэффициента при x и свободный член равны нулю | ax² = 0 | Разделить на a и решить x² = 0 |
Сначала найдите, какие коэффициенты равны нулю, и выберите подходящую строку таблицы. Если все три коэффициента ненулевые, уравнение полное; для него здесь рассматривается разложение на множители, когда оно возможно. Если в уравнении нет одного или двух слагаемых, применяйте более короткий способ для неполного уравнения.
Задача 1. Решить уравнение x² − 16 = 0. Это неполное уравнение без слагаемого с x, поэтому нужно выразить квадрат переменной и вспомнить, какие числа при возведении в квадрат дают 16.
Ответ: −4; 4.
Задача 2. Решить уравнение x² − 5x = 0. Здесь свободный член равен нулю, а каждое слагаемое содержит x. Значит, общий множитель можно вынести за скобки, а затем применить правило нулевого произведения.
Ответ: 0; 5.
Задача 3. Решить уравнение 2x² − 7x + 3 = 0. Все три слагаемых присутствуют, значит, уравнение полное. Попробуем представить трёхчлен произведением, чтобы затем решить два простых уравнения.
Ответ: ½; 3.
Ошибка: считать уравнение квадратным, даже если a = 0. Так бывает, если смотреть только на общую форму и не проверять коэффициент при x². При a = 0 член с x² исчезает, поэтому проверьте, что переменная действительно стоит во второй степени и её коэффициент ненулевой.
Ошибка: неверно менять знаки слагаемых при переносе. Обычно это происходит, когда знак «переносят» мысленно, не проверяя равенство. После преобразования подставьте любое значение x в исходное и преобразованное выражения или перенесите слагаемое обратно: исходная запись должна восстановиться.
Ошибка: из x² = k записывать только положительное значение x. Положительный корень не единственный, потому что противоположное ему число имеет такой же квадрат. При k > 0 запишите оба значения, при k = 0 — одно, а при k < 0 укажите, что действительных корней нет.
Ошибка: из x(x − 5) = 0 получить только x = 0. Первый множитель действительно даёт корень, но второй тоже может обращаться в ноль. Приравняйте к нулю каждую скобку отдельно, а затем проверьте все найденные значения подстановкой.
Для решения квадратных уравнений нужны умения преобразовывать выражения, переносить слагаемые через знак равенства и раскладывать многочлены на множители. Если эти действия знакомы, легче привести уравнение к стандартному виду и выбрать способ решения. Ошибка в знаке или разложении может изменить ответ, поэтому полезно проверять вычисления.
Квадратные уравнения понадобятся при изучении дискриминанта — выражения, которое помогает определять количество корней, — и графиков квадратичной функции. Они также встречаются в задачах, которые после преобразований сводятся к уравнению второй степени. Поэтому способы решения неполных уравнений и разложения на множители становятся основой для следующих тем.
Почему в определении квадратного уравнения обязательно условие a ≠ 0?
Если a = 0, слагаемое ax² исчезает, и в уравнении больше нет переменной во второй степени. Такое уравнение уже не квадратное: оно может стать линейным или вовсе не содержать переменную.
Как определить коэффициенты, если перед x² или x не написано число?
Если перед переменной нет видимого числа, коэффициент равен 1, а если стоит знак минус — −1. Например, в x² − 5x + 6 = 0 коэффициенты a = 1, b = −5, c = 6.
Сколько корней может быть у квадратного уравнения?
У квадратного уравнения может быть два различных действительных корня, один или ни одного действительного корня. В рассмотренных простых примерах это зависит от вида уравнения и получаемых значений.
Что делать, если после выделения x² получается отрицательное число?
Квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Поэтому, если получилось x² = k при k < 0, уравнение не имеет действительных корней.
Почему при решении произведения, равного нулю, рассматривают каждый множитель?
Произведение равно нулю, если хотя бы один из его множителей равен нулю. Поэтому каждый множитель по очереди приравнивают к нулю — так можно найти все корни.
4.1. Квадратные уравнения. Примеры решения квадратных уравнений
