"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Метод выделения полного квадрата позволяет решить квадратное уравнение, преобразовав его к равенству вида (x + m)² = r. Для этого уравнение приводят к виду x² + px + q = 0, переносят свободный член и дополняют выражение с переменной до квадрата двучлена. Затем извлекают квадратный корень с учётом двух знаков. Метод помогает находить корни и понимать, почему уравнение может не иметь действительных решений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Здесь x — переменная, а a, b и c — числа, называемые коэффициентами; a называют старшим коэффициентом, b — коэффициентом при x, c — свободным членом. Условие a ≠ 0 означает, что в уравнении действительно есть член с x². По этим коэффициентам выбирают удобный способ решения.
Полный квадрат — выражение, которое можно представить в виде (x + m)² или (x − m)². Оно получается по формулам квадрата суммы и разности: (u + v)² = u² + 2uv + v², (u − v)² = u² − 2uv + v². Например, x² + 6x + 9 = (x + 3)². Распознавая такую форму, мы можем заменить несколько слагаемых одним квадратом двучлена.
Выделение полного квадрата — преобразование уравнения, при котором выражение с переменной представляют как квадрат двучлена. Обычно сначала приводят уравнение к виду x² + px + q = 0, а затем дополняют x² + px до полного квадрата. Это превращает квадратное уравнение в равенство, из которого можно извлечь квадратный корень.
Корень квадратного уравнения — значение переменной, которое при подстановке обращает исходное уравнение в верное равенство. Например, если после решения получено x = 1, нужно проверить, что подстановка единицы действительно даёт равные части исходного уравнения. Проверка помогает заметить вычислительную ошибку и не принять постороннее значение за ответ.
Сначала уравнение делят на коэффициент a при x², если a ≠ 1. Деление обеих частей на одно и то же ненулевое число сохраняет равенство, а коэффициент при x² становится равен единице. В итоге получается нормированный вид x² + px + q = 0, где p и q — новые коэффициенты. Именно для такого вида удобно подбирать дополнение к квадрату.
Свободный член q переносят в правую часть, меняя его знак: x² + px = −q. Так слева остаются только члены с переменной, которые нужно превратить в квадрат двучлена. Перенос не меняет множество решений: это сокращённая запись прибавления одного и того же числа к обеим частям уравнения. Теперь можно сосредоточиться на выражении x² + px.
Чтобы превратить x² + px в квадрат, сравним его со знакомой формулой (x + m)² = x² + 2mx + m². Средний член совпадёт с px, если 2m = p, то есть m = p/2; последним слагаемым будет (p/2)². Поэтому именно это число прибавляют к обеим частям равенства. Равновесие сохраняется, а слева возникает полный квадрат.
После дополнения получаем (x + p/2)² = r, где r — число в правой части после всех вычислений. Если r > 0, квадратному корню соответствуют два числа: √r и −√r, поэтому решают два уравнения, x + p/2 = √r и x + p/2 = −√r. Если r = 0, оба случая дают одно и то же значение. Если r < 0, действительное число в квадрате не может дать отрицательный результат, значит, действительных корней нет.
На каждом шаге важно сохранять равносильность — то есть не менять набор решений уравнения. Деление выполняют на ненулевое число, перенос заменяют одинаковым действием с обеими частями, а при дополнении квадрата число также прибавляют с обеих сторон. Найденные значения подставляют в исходное уравнение, а не только в промежуточную запись. Если после подстановки левая и правая части равны, корень найден верно.
| Этап | Преобразование | Обоснование |
|---|---|---|
| Приведение к нормированному виду | ax² + bx + c = 0 → x² + px + q = 0 | Делим обе части на a, где a ≠ 0 |
| Выделение членов с переменной | x² + px + q = 0 → x² + px = −q | Переносим свободный член в правую часть |
| Дополнение до полного квадрата | x² + px = −q → x² + px + (p/2)² = −q + (p/2)² | Прибавляем одинаковое число к обеим частям |
| Запись квадрата двучлена | x² + px + (p/2)² = (x + p/2)² | Применяем формулу квадрата суммы |
| Извлечение квадратного корня | (x + p/2)² = r → x + p/2 = ±√r | При r ≥ 0 учитываем оба знака корня |
| Проверка и запись ответа | Подстановка значений в исходное уравнение | Убеждаемся, что найденные значения подходят |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу только после того, как аккуратно выполнил предыдущий. Буква r обозначает результат всех вычислений в правой части равенства. Если он отрицательный, этап извлечения действительного квадратного корня не выполняют: действительных решений нет.
Коэффициент при x² уже равен единице, поэтому делить уравнение не нужно. Переносим свободный член, а затем подбираем число, которое дополнит x² + 6x до квадрата двучлена. Для этого делим коэффициент 6 при x пополам и возводим результат в квадрат.
Ответ: 1; −7. Два корня появились потому, что числу 16 соответствуют два квадратных корня: 4 и −4. Подстановка подтверждает, что оба значения подходят исходному уравнению.
Здесь коэффициент при x² равен 2, поэтому сначала разделим обе части на 2. Это упростит старший член до x² и позволит применить правило дополнения до полного квадрата без изменения решений. После этого задача решается так же, как предыдущая.
Ответ: 5; −1. Проверим значения в исходном уравнении: при x = 5 получаем 50 − 40 − 10 = 0, а при x = −1 — 2 + 8 − 10 = 0. Оба значения являются корнями.
Сначала приведём уравнение к нормированному виду делением на 3. После переноса свободного члена дополним выражение с переменной до полного квадрата. Здесь особенно важно проверить знак правой части: отрицательное число будет означать, что действительных решений нет.
Ответ: действительных корней нет. Мы получили противоречие: неотрицательное выражение равно отрицательному числу. Значит, ни одно действительное значение x не удовлетворяет исходному уравнению.
Первая ошибка — прибавить число только к одной части равенства. Тогда равенство нарушается, и полученное уравнение может иметь другие корни; так поступают, когда забывают о сохранении баланса. Каждый раз записывай прибавление отдельно слева и справа. Например, x² + px = −q превращается в x² + px + (p/2)² = −q + (p/2)².
Вторая ошибка — дополнить x² + px числом p²/2 вместо (p/2)². Часто путают деление коэффициента пополам с делением его квадрата, хотя (p/2)² = p²/4. Проверить себя можно раскрытием скобок в (x + p/2)²: средний член должен быть именно px, а последний — p²/4. Если выражение не совпало, дополнение выбрано неверно.
Третья ошибка — неверно раскрыть квадрат двучлена или выбрать знак среднего слагаемого. Например, (x − m)² = x² − 2mx + m², а не x² + 2mx + m²; знак зависит от знака внутри скобок. Такое случается, если забыть формулу квадрата разности. Раскрой скобки и сравни коэффициент при x с исходным выражением.
Четвёртая ошибка — при извлечении корня оставить только положительный вариант. Из (x + m)² = r при r > 0 следуют оба равенства: x + m = √r и x + m = −√r. Второй ответ пропускают, если воспринимают знак корня как всегда положительный. Чтобы проверить решение, выпиши оба случая и затем подставь полученные значения в исходное уравнение.
Для работы с методом нужны формулы квадрата суммы и разности, свойства равенств и понимание квадратного корня. Выделение полного квадрата помогает преобразовывать квадратные выражения и решать квадратные уравнения; тот же приём лежит в основе вывода формулы корней через дискриминант. Позже он пригодится при исследовании квадратичной функции: преобразование к виду y = a(x − m)² + n показывает координаты вершины параболы.
Зачем делить уравнение на коэффициент при x²?
Так коэффициент при x² становится равным 1, и уравнение принимает вид x² + px + q = 0. В таком виде легко определить, какое число нужно прибавить, чтобы получить полный квадрат.
Почему добавляют именно (p/2)²?
При раскрытии квадрата суммы получаем (x + p/2)² = x² + px + (p/2)². Поэтому добавление (p/2)² превращает x² + px в квадрат двучлена.
Можно ли выделить полный квадрат, не перенося свободный член?
Можно преобразовывать уравнение и без предварительного переноса, но тогда нужно внимательно выполнять одинаковые действия с обеими частями. Перенос свободного члена делает нужное выражение x² + px отдельной частью равенства и упрощает вычисления.
Почему при извлечении корня появляются два ответа?
Если число в квадрате равно r > 0, то возвести в квадрат его могут и √r, и −√r. Поэтому из равенства (x + m)² = r получаем два случая: x + m = √r и x + m = −√r.
Что делать, если после выделения квадрата справа получилось отрицательное число?
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому равенство (x + m)² = r при r < 0 невозможно. Значит, уравнение не имеет действительных корней.
4.2. Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата
