4.3. Формула корней квадратного уравнения

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Числа a, b и c называют коэффициентами: a стоит при x², b — при x, а c — свободный член. Условие a ≠ 0 необходимо, потому что при a = 0 исчезает член с x² и уравнение становится линейным. Чтобы решать уравнение по общей формуле, сначала приводят его к такому виду.

Дискриминант — выражение D = b² − 4ac, составленное из коэффициентов уравнения. Чтобы его найти, возводят b в квадрат, вычисляют произведение 4ac и вычитают это произведение из b². При вычислениях важно подставлять коэффициенты вместе с их знаками: например, если c = −2, в выражение входит именно −2. Значение D помогает заранее понять, сколько корней можно найти.

Формула корней квадратного уравнения имеет вид x = (−b ± √D) / 2a. Здесь подставляют коэффициенты уравнения и найденный дискриминант, а знаменатель равен всему числу 2a. Знак ± задаёт два возможных вычисления: сначала берут плюс перед √D, затем минус. Так находят оба корня, если дискриминант положителен.

Как это устроено

Формула появляется, если преобразовать уравнение так, чтобы слева оказался квадрат выражения с x. Умножим ax² + bx + c = 0 на 4a и перенесём свободное слагаемое: 4a²x² + 4abx = −4ac. Чтобы получить полный квадрат, добавим к обеим частям b². Левая часть станет (2ax + b)², а правая — b² − 4ac, то есть дискриминант. Значит, (2ax + b)² = D; после извлечения квадратного корня, переноса b и деления на 2a получается формула корней.

Число корней связано с тем, какое число стоит справа в равенстве (2ax + b)² = D. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому он не может равняться отрицательному D: при D < 0 действительных решений нет. Если D = 0, квадрат равен нулю только при 2ax + b = 0, поэтому получается один корень. Если D > 0, уравнение имеет два решения для выражения 2ax + b: √D и −√D, а значит, получаются два корня.

Чтобы применить формулу, сначала выпишите a, b и c с их знаками, затем подставьте их в D = b² − 4ac. После вычисления D используйте x = (−b ± √D) / 2a: отдельно посчитайте числитель с плюсом и с минусом, а затем разделите каждый на 2a. Скобки помогают не потерять знак, особенно когда b или c отрицательны. Делить нужно весь числитель, а не только его часть.

При D = 0 квадратный корень из дискриминанта равен нулю. Поэтому варианты −b + √D и −b − √D оба превращаются в −b, а после деления на 2a дают одно значение. Записывать его можно короче: x = −b / 2a. Это один корень, хотя формула с двумя знаками формально позволяет выполнить два вычисления.

Проверка помогает убедиться, что при вычислениях не потерян знак и не допущена арифметическая ошибка. Для неё каждое найденное значение по очереди подставляют вместо x в исходное уравнение, а затем считают левую часть. Если результат равен нулю, подстановка подтверждает корень. При двух корнях проверить нужно каждый из них, а не только один.

Связь дискриминанта с корнями квадратного уравнения

Сначала вычислите дискриминант, затем найдите в таблице строку с соответствующим условием. Она подскажет число корней и способ записи ответа. Если D отрицателен, вычислять √D в действительных числах не нужно.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение x² − 5x + 6 = 0. Здесь a = 1, b = −5, c = 6, поэтому дискриминант положителен и можно ожидать два корня. Подставим коэффициенты в формулу, внимательно учитывая, что −b = 5. Затем проверим, что оба значения обращают уравнение в верное равенство.

1. Выпишем коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6. Найдём D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
2. Подставим числа в формулу: x = (5 ± √1) / 2. С плюсом получаем x₁ = (5 + 1) / 2 = 3, с минусом — x₂ = (5 − 1) / 2 = 2. Оба вычисления используют один и тот же знаменатель 2a = 2.
3. Проверим значения: 3² − 5 · 3 + 6 = 0, а 2² − 5 · 2 + 6 = 0. Левая часть равна нулю в обоих случаях. Ответ: 2; 3.

Задача 2. Решить уравнение 2x² + 3x − 2 = 0. Свободный член отрицательный, поэтому в дискриминанте произведение 4ac тоже будет отрицательным. Запись D = b² − 4ac превращает вычитание этого произведения в сложение, но знак нужно получить из вычисления, а не менять наугад. После этого применим формулу к обоим знакам.

1. Определим коэффициенты: a = 2, b = 3, c = −2. Тогда D = 3² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25. Положительный дискриминант означает, что корней два.
2. Подставим коэффициенты: x = (−3 ± √25) / (2 · 2) = (−3 ± 5) / 4. При плюсе получим x₁ = 2 / 4 = ½, при минусе — x₂ = −8 / 4 = −2. Знаменатель равен 4, поскольку a = 2.
3. Проверим: при x = ½ имеем 2 · ¼ + 3 · ½ − 2 = 0; при x = −2 имеем 2 · 4 − 6 − 2 = 0. Значит, оба значения подходят. Ответ: ½; −2.

Задача 3. Решить уравнение 3x² − 2x − 1 = 0 и проверить полученные корни. Здесь b отрицателен, поэтому выражение −b в формуле окажется положительным. Свободный член также отрицателен, что повлияет на знак при вычислении дискриминанта. Найдём оба значения и подставим их в исходное уравнение.

1. Выпишем коэффициенты: a = 3, b = −2, c = −1. Вычислим D = (−2)² − 4 · 3 · (−1) = 4 + 12 = 16. Так как D > 0, найдём два корня.
2. Подстановка даёт x = (2 ± √16) / 6 = (2 ± 4) / 6. При плюсе x₁ = 6 / 6 = 1, при минусе x₂ = −2 / 6 = −⅓. Здесь весь числитель делится на 6.
3. Проверим x = 1: 3 · 1² − 2 · 1 − 1 = 0. Проверим x = −⅓: 3 · 1/9 + 2/3 − 1 = 1/3 + 2/3 − 1 = 0. Ответ: 1; −⅓.

Типичные ошибки

Формулу иногда применяют, не проверив условие a ≠ 0. Если коэффициент при x² равен нулю, уравнение не является квадратным и формула корней для него не подходит. Ошибка возникает, когда вид уравнения принимают за квадратный только потому, что в нём есть x. Перед решением приведите уравнение к стандартному виду и проверьте коэффициент a.

При подстановке легко потерять знак коэффициента b: в числителе стоит −b. Поэтому при b < 0 выражение −b положительно, например, если b = −5, то −b = 5. Ошибка возникает, когда минус перед b просто переписывают без учёта знака самого числа. Для самопроверки сначала отдельно вычислите значение −b.

Дискриминант иногда считают как b² + 4ac, хотя верная запись — D = b² − 4ac. Путаница возникает из-за переноса слагаемого при выводе формулы или из-за того, что c может быть отрицательным. Запишите формулу до подстановки, а знаки коэффициентов заключите в скобки. Затем проверьте результат вычислением произведения 4ac и его вычитанием из b².

Ещё одна ошибка — разделить на 2a только часть числителя. Скобки в записи x = (−b ± √D) / 2a показывают, что делить нужно всё выражение −b ± √D. Ошибка появляется, если формулу читают слева направо без учёта дробной черты. Для самопроверки запишите числитель в скобках, а знаменатель — под всей скобкой.

Связь с другими темами

Для работы с формулой нужно уметь приводить уравнение к виду ax² + bx + c = 0, находить коэффициенты и вычислять квадрат числа. Эти навыки помогают не перепутать порядок членов и знаки при вычислении дискриминанта. Решение квадратных уравнений встречается и в задачах, которые после преобразований сводятся к такому уравнению. Позже корни будут связаны с графиком квадратичной функции: они показывают, где график пересекает ось x.

Что запомнить

• Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.
• Дискриминант вычисляют по формуле D = b² − 4ac.
• При D > 0 уравнение имеет два действительных корня.
• При D = 0 уравнение имеет один действительный корень.
• При D < 0 действительных корней нет.
• Корни находят по формуле x = (−b ± √D) / 2a.