"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Формула корней помогает решить такое уравнение по его коэффициентам: сначала находят дискриминант D = b² − 4ac, а затем определяют число корней и вычисляют их. Знак дискриминанта показывает, будут ли корни действительными и сколько их: два, один или ни одного.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x² и показывает, что уравнение действительно квадратное; b стоит при x, а c — свободный член. Если какого-то слагаемого нет, его коэффициент равен нулю. Стандартная запись помогает правильно применять формулы.
Дискриминант квадратного уравнения — число D = b² − 4ac. Его вычисляют по коэффициентам уравнения, чтобы узнать, сколько у него действительных корней. Поэтому знак D проверяют до подстановки чисел в формулу корней. Сам дискриминант не является корнем уравнения.
Корень квадратного уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, если подстановка числа вместо x превращает левую часть в ноль, это число является корнем. Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что действительных корней нет. Найденные значения полезно проверять подстановкой.
Формула корней квадратного уравнения имеет вид x = (−b ± √D)/(2a) и применяется, когда D ≥ 0. Знак ± указывает на два вычисления: одно со знаком плюс, другое со знаком минус. Формула связывает корни с коэффициентами и позволяет решать уравнения, не подбирая значения переменной. При D = 0 оба вычисления дают одно и то же значение.
Начнём с уравнения ax² + bx + c = 0 и умножим обе его части на 4a. Это допустимо, потому что a не равно нулю, а значит, умножение на 4a не меняет множество решений. Получаем 4a²x² + 4abx + 4ac = 0. Перенесём 4ac вправо: 4a²x² + 4abx = −4ac.
Теперь добавим к обеим частям b². Слева возникнет полный квадрат: 4a²x² + 4abx + b² = (2ax + b)², а справа получится b² − 4ac. Такое добавление не меняет равенство, поскольку одно и то же число прибавляется с обеих сторон. Получаем (2ax + b)² = b² − 4ac, то есть (2ax + b)² = D. Так становится видно, почему в определении дискриминанта появляются именно b² и 4ac.
Левая часть равенства — квадрат действительного числа, а квадрат не может быть отрицательным. Поэтому при D < 0 равенство невозможно и действительных корней нет. Если D = 0, выражение 2ax + b должно равняться нулю, и получается одно значение x. Если D > 0, число √D существует и положительно, поэтому квадрату D соответствуют два числа: √D и −√D. Отсюда возникают два корня.
При D ≥ 0 из равенства квадратов следует 2ax + b = ±√D. Переносим b вправо: 2ax = −b ± √D. Затем делим обе части на 2a, чтобы оставить x, и получаем x = (−b ± √D)/(2a). Минус перед b появляется при переносе слагаемого, а знаменатель 2a — при делении. Запись ± нужно раскрывать на два отдельных вычисления, если D положителен.
Чтобы решить уравнение, сначала приводят его к виду ax² + bx + c = 0, перенося все слагаемые в одну сторону и приводя подобные. Затем определяют a, b и c вместе с их знаками и вычисляют D = b² − 4ac. По знаку D решают, сколько будет корней, и при D ≥ 0 подставляют коэффициенты в формулу. В конце полезно проверить найденные значения подстановкой в исходное уравнение.
| Условие | Знак дискриминанта | Количество действительных корней | Результат |
|---|---|---|---|
| D > 0 | Положительный | Два | x₁ = (−b + √D)/(2a), x₂ = (−b − √D)/(2a) |
| D = 0 | Равен нулю | Один | x = −b/(2a) |
| D < 0 | Отрицательный | Ни одного | Квадратный корень из D не является действительным числом |
Сначала найдите D, а затем выберите строку с подходящим условием. Если D положителен, считайте оба значения формулы, а при нулевом D достаточно одного. При отрицательном D вычислять корни в действительных числах не нужно.
Иногда забывают условие a ≠ 0 или неверно определяют коэффициенты, если уравнение не приведено к стандартному виду. Это происходит, когда пытаются сразу подставлять в формулу слагаемые из записи, где они стоят по разные стороны от знака равенства. Сначала перенесите всё в одну сторону и приведите подобные. Проверьте, что при x² стоит ненулевой коэффициент.
При вычислении D часто теряют знак у b или c: например, записывают (−3)² как −9 либо не учитывают отрицательное c в произведении −4ac. Ошибка возникает, когда число и его знак воспринимают отдельно. Возьмите коэффициент в скобки и подставьте в формулу точно: b² − 4 · a · c. После этого отдельно проверьте каждый знак произведения.
Неверно записанная формула может изменить результат: например, без скобок вокруг −b или со знаменателем только под частью числителя. Причина — неаккуратная запись дроби и попытка сокращать выражения до подстановки. Записывайте всю формулу как x = (−b ± √D)/(2a), сохраняя скобки. Убедитесь, что на 2a делится весь числитель.
При D = 0 иногда указывают два разных корня, хотя выражение ±√D в обоих случаях равно нулю. А при D < 0 могут пытаться извлечь квадратный корень и получить действительные корни. Сверяйте знак D с таблицей до применения формулы. Ноль даёт одно значение, отрицательный дискриминант — ни одного действительного корня.
Для вычислений нужны навыки преобразования выражений, возведения чисел в квадрат и извлечения квадратного корня из неотрицательного числа. Вывод формулы опирается на выделение полного квадрата и решение уравнений вида x² = m. Освоив эту формулу, можно решать прикладные задачи, в которых неизвестная входит в квадрате. Она также помогает исследовать квадратный трёхчлен и график квадратичной функции, связывая вычисления с поведением графика.
Почему перед b в формуле корней стоит минус?
При выводе формулы после выделения полного квадрата получается равенство с выражением 2ax + b. Чтобы оставить слагаемое с x, b переносят в другую часть равенства, поэтому возникает −b.
Почему в знаменателе формулы находится 2a?
После извлечения квадратного корня в равенстве с полным квадратом остаётся выражение 2ax + b. Чтобы получить x, обе части делят на 2a; деление возможно, так как a ≠ 0.
Что делать, если дискриминант равен нулю?
Подставить D = 0 в формулу корней. Слагаемое √D становится нулём, поэтому оба варианта со знаками плюс и минус совпадают: x = −b/(2a).
Может ли квадратное уравнение иметь корни, если дискриминант отрицательный?
Действительных корней при D < 0 нет, потому что квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом. В школьном курсе рассматривают именно действительные корни.
Нужно ли сначала привести уравнение к стандартному виду?
Да, сначала запишите уравнение как ax² + bx + c = 0. Тогда коэффициенты a, b и c можно определить без путаницы, а формулу дискриминанта — применить правильно.
22. Формула корней квадратного уравнения
