"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Чтобы решить его, находят дискриминант D = b² − 4ac, который показывает число действительных корней. При D > 0 корней два, при D = 0 — один, а при D < 0 действительных корней нет. Затем используют формулу x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a).
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Коэффициенты квадратного уравнения — это числа a, b и c в записи ax² + bx + c = 0. Число a стоит при x², b — при x, а c не умножается на x. Условие a ≠ 0 обязательно: иначе уравнение не будет квадратным.
Дискриминант — число D, которое вычисляют так: D = b² − 4ac. Он помогает заранее узнать, сколько действительных корней имеет уравнение. Поэтому не всегда нужно сразу выполнять всю формулу: сначала достаточно исследовать знак D.
Формула корней квадратного уравнения имеет вид x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a). Знак «±» означает два действия: один раз берут «+», другой раз — «−». Так получают первый и второй корни, если D положителен.
Действительные корни — это такие значения x, которые являются действительными числами и превращают уравнение в верное равенство. При D > 0 существуют два разных корня, при D = 0 — один корень, а при D < 0 действительных корней нет. Такое различие связано с возможностью извлечь действительный квадратный корень.
Начнём с уравнения ax² + bx + c = 0 и разделим обе части на a, потому что a ≠ 0. Получим x² + (b/a)x + c/a = 0, или x² + (b/a)x = −c/a. Чтобы левая часть стала квадратом двучлена, к обеим частям добавляют число (b/(2a))².
После добавления этого числа левая часть превращается в (x + b/(2a))². Правая часть содержит сумму −c/a + b²/(4a²), которую приводят к общему знаменателю 4a². В числителе получается b² − 4ac, поэтому именно это выражение появляется при выделении полного квадрата.
Теперь уравнение можно записать как (x + b/(2a))² = D/(4a²). Умножив обе части на 4a², получаем (2ax + b)² = D. Квадрат действительного числа не может быть равен отрицательному числу, поэтому знак D сразу определяет возможность существования действительных решений.
Если D ≥ 0, из равенства квадратов следует 2ax + b = ±√D. Переносим b в правую часть и делим на 2a: x = (−b ± √D)/(2a). При D > 0 два знака дают разные числа, а при D = 0 оба варианта совпадают.
Алгоритм решения начинается с определения коэффициентов a, b и c с учётом знаков. Затем вычисляют D = b² − 4ac и выбирают нужный случай: два корня, один корень или отсутствие действительных корней. В конце найденные значения полезно подставить в исходное уравнение, чтобы проверить вычисления.
| Условие | Знак дискриминанта | Число действительных корней | Формула или результат |
|---|---|---|---|
| D > 0 | Положительный | Два | x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a) |
| D = 0 | Нулевой | Один | x = −b/(2a) |
| D < 0 | Отрицательный | Нет | Действительных корней нет |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала вычислите дискриминант и сравните его с нулём. Затем выберите строку с подходящим условием и примените указанный результат. При D = 0 не записывают два одинаковых корня как разные.
Уравнение уже записано в стандартном виде, поэтому коэффициенты можно определить непосредственно. Дискриминант будет положительным, значит, следует ожидать два корня. Найдём их по общей формуле.
Ответ: x₁ = 2, x₂ = 1/2. Подстановка каждого значения в исходное уравнение подтверждает равенство нулю.
Здесь коэффициенты равны a = 3, b = −12, c = 12. После вычисления дискриминанта станет ясно, совпадут ли два значения формулы. Для нулевого дискриминанта удобнее использовать сокращённую формулу.
Ответ: x = 2. Это один корень, потому что оба знака в общей формуле дают одно и то же значение.
Выпишем коэффициенты вместе со знаками: a = 4, b = 4, c = 5. Нужно проверить знак дискриминанта, поскольку от него зависит сам факт существования действительных решений. Если он окажется отрицательным, формулу корней применять для получения действительных чисел не потребуется.
Ответ: действительных корней нет. Отрицательный дискриминант уже полностью описывает результат.
Первая ошибка — забыть множитель 4 и записать D = b² − ac. Так происходит, когда формулу запоминают не полностью. Проверьте себя: в дискриминанте обязательно должны присутствовать b² и произведение 4ac.
Нельзя заменять отрицательные коэффициенты их модулями. Например, если b = −5, в выражении b² нужно подставить (−5)², а не просто потерять знак во всех действиях. Перед вычислением выпишите a, b и c отдельной строкой.
При D = 0 иногда записывают два разных корня из-за знака «±». Но √0 = 0, поэтому оба варианта совпадают и дают один корень x = −b/(2a). Сверяйте результат с таблицей числа корней.
Ещё одна ошибка — делить числитель на 2 вместо 2a. Коэффициент a появляется в знаменателе после переноса и деления всего равенства. Перед сокращением перепишите знаменатель полностью: 2a.
До изучения формулы нужно уметь приводить уравнение к стандартному виду, находить его коэффициенты, извлекать квадратные корни и преобразовывать выражения. Эти навыки помогают не ошибиться ещё до вычисления дискриминанта.
Формула корней применяется в текстовых задачах, где неизвестная величина входит во вторую степень. Она также помогает исследовать квадратную функцию и находить точки пересечения её графика с осью Ox.
Тема подготавливает разложение квадратного трёхчлена на множители и решение неравенств второй степени. Знание числа и знаков корней становится основой для дальнейшего исследования таких выражений.
Почему в формуле корней появляется выражение b² − 4ac?
Оно возникает при выделении полного квадрата в преобразованном квадратном уравнении. Это выражение становится подкоренным и поэтому определяет, можно ли получить действительные корни.
Что делать, если дискриминант получился отрицательным?
В таком случае квадратный корень из дискриминанта не является действительным числом. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Почему при нулевом дискриминанте корень только один?
При D = 0 значение √D равно нулю. Поэтому оба знака в формуле дают одно и то же число: x₁ = x₂ = −b/(2a).
Как не ошибиться со знаками коэффициентов при вычислении дискриминанта?
Сначала выпишите a, b и c отдельно вместе с их знаками, а затем подставляйте их в D = b² − 4ac. Особенно внимательно следите за произведением 4ac, если один из коэффициентов отрицательный.
Можно ли применять формулу корней, если коэффициент a равен нулю?
Нет, при a = 0 уравнение перестаёт быть квадратным, а знаменатель 2a становится равен нулю. Такое уравнение решают как линейное, если оно действительно линейное.
3.2 Формула корней квадратного уравнения
